그리디 알고리즘

의미

• 그리디 알고리즘(탐욕법)은 현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 방법을 의미
• 일반적인 그리디 알고리즘은 문제를 풀기 위한 최소한의 아이디어를 떠올릴 수 있는 능력을 요구합니다.
• 그리디 해법은 그 정당성 분석이 중요합니다.
  • 단순히 가장 좋아 보이는 것을 반복적으로 선택해도 최적의 해를 구할 수 있는지 검토합니다.
• 일반적인 상황에서 그리디 알고리즘은 최적의 해를 보장할 수 없을 때가 많습니다.
• 하지만 코딩 테스트에서의 대부분의 그리디 문제는 탐욕법으로 얻은 해가 최적의 해가 되는 상황에서, 이를 추론할 수 있어야 풀리도록 출제됩니다.

문제

문제 1. 거스름돈

• 당신은 음식점의 계산을 도와주는 점원입니다. 카운터에서는 거스름돈으로 사용할 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전이 무한히 존재한다고 가정합니다. 손님애게 거슬러 주어야 할 돈이 N원일 때 거스러주어야 할 동전의 최소 개수를 구하세요. 단, 거슬러줘야 할 돈 N은 항상 10의 배수입니다.

해결 아이디어

• 최적의 해를 빠르기 구하기 위해서는 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주면 됩니다.

• N원을 거슬러 줘야 할 때, 가장 먼저 500원으로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 줍니다.

  • 이후에 100원, 50원, 10원짜리 동전을 차례대로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 주면 됩니다.

• N = 1,260일 때의 예시를 확인해 봅시다.

해결 방법

• 가장 큰 화폐 단위인 500원 부터 거슬러주면 500원 2개, 100원 2개, 50원 1개, 10원 1개를 거슬러주면 됩니다.

#Python
N = 1260
cnt = 0

lst = [500, 100, 50, 10]

for coin in lst :
	cnt += n//coin 
	n %= coin 
print(cnt)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n = 1260;
int cnt;

int coinTypes[4]= {500, 100, 50, 10};

int main(void) {
    for (int i = 0; i<4; i++) {
        cnt += n /coinTypes[i];
        n %= coinTypes[i];
        
    }
    cout << cnt << '\n';
}

문제 분석

정당성 분석

• 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주는 것이 최적의 해를 보장하는 이유는 무엇일까요?
  • 가지고 있는 동전 중에서 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이므로 작은 단위의 동전들을 종합해 다른 해가 나올 수 없기 때문입니다.
• 만약에 800원을 거슬러 주어야 하는데 화폐 단위가 500원, 400원, 100원이라면 어떻게 될까요?
  • 위에서 사용한 알고리즘을 사용하면 500원 1개, 100원 3개로 4개지만 사실은 400원 2개가 가장 효율적인 알고리즘이다.
  • 위에서 사용한 알고리즘은 큰 단위가 더 작은 단위의 배수로 표현될 때만 사용 가능하다.
• 그리디 알고리즘 문제에서는 이처럼 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 이것이 정당한지 검토할 수 있어야 합니다.

시간 복잡도 분석

• 화폐의 종류가 K라고 할 때, 소스코드의 시간 복잡도는 O(K)입니다.
• 이 알고리즘의 시간 복잡도는 거슬러줘야 하는 금액과는 무관하며, 동전의 총 종류에만 영향을 받습니다.

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문제 2. 1이 될 때 까지

• 어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 합니다. 단, 두번째 연산은 N이 K로 나누어 떨어질 대만 선택할 수 있습니다.
  1. N에서 1을 뺍니다.
  2. N을 K로 나눕니다.
• 예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정합시다. 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 됩니다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1이 됩니다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 됩니다. 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수입니다.
• N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하세요

해결 아이디어

• 주어진 N에 대하여 최대한 많은 나누기를 수행하면 됩니다.

• N의 값을 줄일 때 2 이상의 수로 나누는 작업이 1을 빼는 작업보다 수를 훨씬 많이 줄일 수 있습니다.

• 예를 들어 N=25, K=3일 때 다음과 같습니다

  단계	연산 과정	N의 값
  0단계		N=25
  1단계	1빼기	N=24
  2단계	N을 k로 나누기	N=8
  3단계	1빼기	N=7
  4단계	1빼기	N=6
  5단계	N을 k로 나누기	N=2
  6단계	1빼기	N=1

문제 분석

정당성 분석

• 가능하면 최대한 많이 나눈느 작업이 최적의 해를 항상 보장할 수 있을까요?
• N이 아무리 큰 수여도, K로 계속 나눈다면 기하급수적으로 빠르게 줄일 수 있습니다.
• 다시 말해 K가 2 이상이기만 하면, K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N을 줄일 수 있습니다.
  • 또한 N은 항상 1에 도달하게 됩니다. (최적의 해 성립)

n,k = map(int,input().split())

res = 0

while True :
    #N이 K로 나누어 떨어지는 수가 될 때까지 빼기
    target = (n//k) *k
    res += (n-target)
    n = target
    #N이 K보다 작을 때 (더이상 나눌 수 없을 때 ) 반복문 탈출
    if n<k :
        break
        
    res += 1 
    n//=k 

res += (n-1)
print(res)

---

문제 3. 곱하기 혹은 더하기

• 각 자리가 숫자(0부터 9)로만 이루어진 문자열 S가 주어졌을 때, 왼쪽부터 오른쪽으로 하나씩 모든 숫자를 확인하며 숫자 사이에 'x'혹은 '+' 연산자를 넣어 결과적으로 만들어질 수 있는 가장 큰 수를 구하는 프로그램을 작성하세요. 단, +보다 x를 먼저 게산하는 일반적인 방식과 달리, 모든 연산은 왼쪽에서부터 순서대로 이루어진다고 가정합니다.
• 예를 들어 02984라는 문자열로 만들 수 있는 가장 큰 수는 ((((0+2)x9)x8)x4) = 576입니다. 또한 만들어질 수 있는 가장 큰 수는 항상 20억 이하의 정수가 되도록 입력이 주어집니다.

해결 아이디어

• 대부분의 경우 '+'보다 'x'가 더 값을 크게 만듭니다.
  • 예를 들어 5+6 =11이고, 5x6 = 30입니다.
• 다만 두 수 중에서 하나라도 '0' 혹은 '1'인 경우, 곱하기보다는 더하기를 수행하는 것이 효율적입니다.
• 따라서 두 수에 대하여 연산을 수행할 때, 두 수 중에서 하나라도 1 이하인 경우에는 더하며, 두 수가 모두 2 이상인 경우에 곱하면 정답입니다.

data = input()

res = int(data[0])

for i in range(1,len(data)) :
    
    num = int(data[i])
    if num <=1 or res <=1 :
        res += num 
        
    else :
        res *= num
print(res)

---

문제 4. 모험가 길드

• 한 마을에 모험가가 N명 있습니다. 모험가 길드에서는 N명의 모험가를 대상으로 '공포도'를 측정했는데, '공포도'가 높은 모험가는 쉽게 공포를 느껴 위험 상황에서 제대로 대처할 능력이 떨어집니다.

• 모험가 길드장인 동빈이는 모험가 그룹을 안전하게 구성하고자 공포도가 X인 모험가는 X명 이상으로 구성한 모험가 그룹에 참여해야 여행을 떠날 수 있도록 규정했습니다.

• 동빈이는 최대 몇 개의 모험가 그룹을 만들 수 있는지 궁금합니다. N명의 모험가에 대한 정보가 주어졌을 때, 여행을 떠날 수 있는 그룹 수의 최댓값을 구하는프로그램을 작성하세요

• 예를 들어 N=5이고, 각 모험가의 공포도가 다음과 같다고 가정합시다.

2 3 1 2 2

• 이 경우 그룹 1에 공포도가 1, 2, 3인 모험가를 한 명씩 넣고, 그룹 2에 공포도가 2인 남은 2명을 넣게 되면 총 2개의 그룹을 만들 수 있습니다.
• 또한 몇 명의 모험가는 마을에 그대로 남아 있어도 되기 때문에, 모든 모험가를 특정한 그룹에 넣을 필요는 없습니다.

N = 5 
x = [2,3,1,2,2]

x.sort()
res = 0
cnt = 0

for i in x :
  cnt += 1 
  if cnt >=i :
    res += 1
    cnt = 0