[Linear Algebra] Day 14. Proof: Relationship between cross product and sin of angle

이 글은 칸아카데미의 '선형대수학(Linear algebra)' 강의를 참고하여 작성하였습니다.
링크: Khan academy

지난 시간에 외적에 대해 배워본 것을 바탕으로,
외적과 sin간의 관계에 대해 증명해보고자 한다.
벡터 a, b의 내적은 각각 벡터 a와 b의 크기를 곱한 것에 cos $\theta$를 해준 것과 같이 표현할 수 있다고 이전에 배웠다.

그렇다면 벡터 a, b의 외적은 무엇일까?

벡터 a, b의 외적의 절대값은 벡터 a, b의 크기를 곱한 것에 sin $\theta$이다.

⭐ $||\vec{a}\times\vec{b}||$ = $||(\vec{a})||$ $||(\vec{b})||$ $sin$ $\theta$ ⭐

이를 증명하기 위해 외적의 절댓값을 제곱해보고자 한다.

$||(\vec{a}\times\vec{b})||^2$ 를 제곱해보자.

$||(\vec{x})||^2$ = $(x_1)^2 + (x_2)^2 + \dots (x_n)^2$

이처럼 외적의 절댓값의 제곱은
= 외적하는 벡터의 각 성분을 제곱한 것의 합으로 표현할 수 있다.

$||(\vec{a}\times\vec{b})||^2$ 식을 풀어서 정리하면,

$(a_1)^2({b_2}^2 + {b_3}^2 )+(a_2)^2({b_1}^2 + {b_3}^2) + (a_3)^2({b_1}^2 + {b_2}^2) -$ $2(a_1a_3b_2b_3 + a_1a_3b_1b_3 + a_1a_2b_1b_2)$ 가 된다.

이번에는 벡터의 내적을 제곱해보고자 한다.

(벡터 외적과 sin과의 관계를 증명하기 위한 과정이니 일단은 해보도록 하자.)

$||(\vec{a})||$ $||(\vec{b})||$ $cos$ $\theta$ = $(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$ = $(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$ 에서

$(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$ 는 $(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \times (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$과 같으므로, 아래와 같이 식을 정리할 수 있다.

$||(\vec{a})||$ $||(\vec{b})||$ $cos$ $\theta$
= ${a_1}^2{b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2 + {a_3}^2{b_3}^2 +$ $2(a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3)$

$||(\vec{a}\times\vec{b})||^2$, $||(\vec{a})||$ $||(\vec{b})||$ $cos$ $\theta$ 이 2개의 식을 풀어서 정리했을 때,

$2(a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3)$ 이 부분이 같으므로 없에주기 위해 식을 더해보자.

$||(\vec{a}\times\vec{b})||^2 + ||(\vec{a})||^2$ $||(\vec{b})||^2$ $cos^2$ $\theta$

= $({b_1}^2 +{b_2}^2 + {b_3}^2)({a_1}^2 +{a_2}^2 + {a_3}^2)$

= $||\vec{b}||^2$ $||\vec{a}^2||$ 로 표현할 수 있다.

좌변에 있던 $||(\vec{a})||^2$ $||(\vec{b})||^2$ $cos^2$ $\theta$ 를 우변으로 옮겨주자.

$||(\vec{a}\times\vec{b})||^2$ = $||(\vec{a})||^2$ $||(\vec{b})||^2$ $(1 -cos^2$ $\theta)$ 이므로,

최종적으로 $||(\vec{a})||$ $||(\vec{b})||$ $sin^2$ $\theta$가 도출된다.

⭐ 여기서 잠깐 !

1. sin과 cos간의 관계를 상기시켜보자.

위 식이 성립할 수 있는 이유이다.

2. 벡터의 크기를 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다는 것을 기억하는가?

$||(\vec{a})||$ = $\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + \dots + {a_n}^2}$

각 변을 제곱해주면,

$||(\vec{a})||^2$ = $(\vec{a}\cdot\vec{a})$ = ${a_1}^2 + {a_2}^2 + \dots + {a_n}^2$
이렇게 방금 위에서 얻은 낯이 익은 식을 도출해낼 수 있다.

오늘은 여기까지 ,,,