두 집단의 분산 비교를 위한 F-분포 통계량 유도

• 모집단 가정 및 표본 추출

  • 모집단 1: $N(\mu_1, \sigma_1^2) \rightarrow$ 크기가 $n_1$인 표본으로부터 구한 표본분산 $s_1^2$
  • 모집단 2: $N(\mu_2, \sigma_2^2) \rightarrow$ 크기가 $n_2$인 표본으로부터 구한 표본분산 $s_2^2$

• 카이제곱($\chi^2$) 분포로 변환
  각 표본분산을 모분산으로 나누어 자유도가 각각 $v_1=(n_1-1)$, $v_2=(n_2-1)$인 카이제곱 분포 확률변수 $Y_1^2, Y_2^2$를 정의함

  $Y_1^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1 - 1)$
  $Y_2^2 = \frac{(n_2 - 1)s_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2 - 1)$

• F-통계량의 정의 (수식 전개)
  F-통계량은 두 독립적인 카이제곱 변수를 각각의 자유도로 나눈 것의 비율로 정의됨 (분자 자유도 $n_1-1$, 분모 자유도 $n_2-1$)

  $F = \frac{Y_1^2 / v_1}{Y_2^2 / v_2} = \frac{\frac{(n_1 - 1)s_1^2}{\sigma_1^2} / (n_1 - 1)}{\frac{(n_2 - 1)s_2^2}{\sigma_2^2} / (n_2 - 1)} = \frac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

• 가설검정에서의 최종 F값 적용
  두 집단의 분산 차이에 대한 가설검정을 수행할 때, 귀무가설($H_0$)은 "두 모분산이 같다($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)"로 설정함. 따라서 위 식의 분모, 분자에 있는 모분산이 약분되어 최종적으로 표본분산의 비율만 남음

  $F = \frac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$