구간 추정 (독립인 두 집단)

1-1. 두 모평균 차이 (독립표본, 모분산 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$를 아는 경우)

• 두 표본평균의 차이 $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$는 정규분포를 따름
• 표준화 및 Z-분포 변환
  $Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0, 1)$
• $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간 정리
  $\left[ (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \quad (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \right]$

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1-2. 두 모평균 차이 (독립표본, 모분산을 모르지만 등분산($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$) 가정 시)

• 두 표본분산을 가중평균한 합동표본분산(공통분산, $S_p^2$)을 계산하여 사용함
  $S_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
• 자유도가 $n_1+n_2-2$인 $t$-분포로 변환
  $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$
• $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간 정리
  $\left[ (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - t_{\alpha/2, n_1+n_2-2} S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}, \quad (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) + t_{\alpha/2, n_1+n_2-2} S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \right]$

2. 대응표본 모평균 차이

• 각 쌍의 차이값을 $d_i = X_{1i} - X_{2i}$ 라 하고, 표본차이평균을 $\bar{d}$, 표본차이표준편차를 $s_d$라 함
• 자유도가 $n-1$인 $t$-분포로 변환 ($n$은 데이터 '쌍'의 개수)
  $t = \frac{\bar{d} - \mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$
• $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간 정리
  $\left[ \bar{d} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s_d}{\sqrt{n}}, \quad \bar{d} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s_d}{\sqrt{n}} \right]$

3. 두 모비율 차이

• 모비율을 모르므로 각 표본비율 $\hat{p}_1, \hat{p}_2$를 사용하여 표준오차를 추정하고 Z-분포로 변환
  $Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}} \sim N(0, 1)$
• $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간 정리
  $\left[ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}, \quad (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \right]$

4. 두 모분산 비

• 두 표본분산의 비율을 이용해 자유도가 $(n_1-1, n_2-1)$인 $F$-분포로 변환

  $F = \frac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} = \frac{s_1^2}{s_2^2} \times \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

• 신뢰수준 설정 및 역수 변환 (카이제곱과 동일한 원리로 하한/상한 위치 변경)

  $P\left(F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \le \frac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \le F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)\right) = 1 - \alpha$

• 모분산 비($\sigma_1^2 / \sigma_2^2$)에 대한 $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간 정리

  $\left[ \frac{s_1^2}{s_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)}, \quad \frac{s_1^2}{s_2^2} \frac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \right]$

  (참고: $F$-분포의 성질에 의해 $\frac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} = F_{\alpha/2}(n_2-1, n_1-1)$ 로 변환하여 표기하기도 합니다.)