Vector Space

열수철·2025년 3월 5일
linearalgebra

1. 벡터 공간(Vector Space)의 정의

벡터 공간 VV는 덧셈과 스칼라 곱이라는 두 가지 연산이 정의된 수학적 구조입니다. 체(field) FF 위의 벡터 공간이 되기 위해서는 다음 10가지 공리(axioms)를 만족해야 합니다:

덧셈에 관한 공리:

  • 덧셈의 닫힘성: ∀u,v∈V\forall u, v \in V, u+v∈Vu + v \in V
  • 덧셈의 교환법칙: ∀u,v∈V\forall u, v \in V, u+v=v+uu + v = v + u
  • 덧셈의 결합법칙: ∀u,v,w∈V\forall u, v, w \in V, (u+v)+w=u+(v+w)(u + v) + w = u + (v + w)
  • 영벡터의 존재: ∃0∈V\exists \mathbf{0} \in V 그리고 ∀u∈V\forall u \in V, u+0=uu + \mathbf{0} = u
  • 덧셈의 역원 존재: ∀u∈V\forall u \in V, ∃(−u)∈V\exists (-u) \in V 그리고 u+(−u)=0u + (-u) = \mathbf{0}

스칼라 곱에 관한 공리:

  • 스칼라 곱의 닫힘성: ∀c∈F,∀u∈V\forall c \in F, \forall u \in V, c⋅u∈Vc \cdot u \in V
  • 스칼라 곱의 분배법칙(벡터 덧셈): ∀c∈F,∀u,v∈V\forall c \in F, \forall u, v \in V, c⋅(u+v)=c⋅u+c⋅vc \cdot (u + v) = c \cdot u + c \cdot v
  • 스칼라 곱의 분배법칙(스칼라 덧셈): ∀c,d∈F,∀u∈V\forall c, d \in F, \forall u \in V, (c+d)⋅u=c⋅u+d⋅u(c + d) \cdot u = c \cdot u + d \cdot u
  • 스칼라 곱의 결합법칙: ∀c,d∈F,∀u∈V\forall c, d \in F, \forall u \in V, c⋅(d⋅u)=(c⋅d)⋅uc \cdot (d \cdot u) = (c \cdot d) \cdot u
  • 스칼라의 항등원: ∀u∈V\forall u \in V, 1⋅u=u1 \cdot u = u

이 공리들이 의미하는 바는 간단합니다: 벡터들은 서로 더할 수 있고, 숫자(스칼라)와 곱할 수 있으며, 이 연산들은 우리가 기대하는 자연스러운 법칙들을 따릅니다.

2. 벡터 공간의 대표적인 예시

2.1 Rn\mathbb{R}^n (n차원 실수 공간)

가장 익숙한 벡터 공간은 Rn\mathbb{R}^n입니다:

  • R2\mathbb{R}^2는 평면 위의 모든 점 (x,y)(x, y)의 집합
  • R3\mathbb{R}^3는 3차원 공간의 모든 점 (x,y,z)(x, y, z)의 집합

여기서 벡터 덧셈과 스칼라 곱은 각각:

  • (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
  • c⋅(x,y)=(cx,cy)c \cdot (x, y) = (cx, cy)

2.2 함수 공간

특정 구간 [a,b][a, b]에서 정의된 모든 연속 함수들의 집합 C[a,b]C[a, b]도 벡터 공간입니다:

  • (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • (c⋅f)(x)=c⋅f(x)(c \cdot f)(x) = c \cdot f(x)

2.3 다항식 공간

차수가 nn 이하인 모든 다항식의 집합 PnP_n:
Pn={a0+a1x+a2x2+…+anxn∣ai∈R}P_n = \{a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \mid a_i \in \mathbb{R}\}

이 공간에서:

  • (p+q)(x)=p(x)+q(x)(p + q)(x) = p(x) + q(x)
  • (c⋅p)(x)=c⋅p(x)(c \cdot p)(x) = c \cdot p(x)

2.4 행렬 공간

모든 m×nm \times n 행렬의 집합 Mm×nM_{m \times n}도 벡터 공간입니다.

3. 부분공간(Subspace)의 개념

부분공간은 '벡터 공간 안의 벡터 공간'입니다. 벡터 공간 VV의 부분집합 WW가 부분공간이 되기 위한 조건은 다음과 같습니다:

  1. WW는 공집합이 아니며, 영벡터 0\mathbf{0}을 포함한다.
  2. WW는 덧셈에 대해 닫혀 있다: ∀u,v∈W\forall u, v \in W, u+v∈Wu + v \in W
  3. WW는 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다: ∀c∈F,∀u∈W\forall c \in F, \forall u \in W, c⋅u∈Wc \cdot u \in W

이 세 조건만 만족하면, WW는 자동으로 모든 벡터 공간 공리를 만족하게 됩니다.

더 간단한 검증 방법:

부분공간임을 확인하기 위해 가장 간단한 방법은 '선형 결합에 대한 닫힘성'을 확인하는 것입니다:

∀u,v∈W,∀c,d∈F\forall u, v \in W, \forall c, d \in F, c⋅u+d⋅v∈Wc \cdot u + d \cdot v \in W

이 조건 하나만 확인해도 부분공간 여부를 판단할 수 있습니다(단, WW가 공집합이 아니라는 가정 하에).

4. 중요한 부분공간들

4.1 해공간(Null Space)

행렬 AA에 대해, Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}의 모든 해 x\mathbf{x}의 집합:

N(A)={x∣Ax=0}N(A) = \{\mathbf{x} \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}

이것이 부분공간인 이유는:

  • A0=0A\mathbf{0} = \mathbf{0}이므로 영벡터를 포함합니다.
  • Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}이고 Ay=0A\mathbf{y} = \mathbf{0}이면, A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = A\mathbf{x} + A\mathbf{y} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}
  • Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}이면, A(cx)=cAx=c0=0A(c\mathbf{x}) = cA\mathbf{x} = c\mathbf{0} = \mathbf{0}

4.2 열공간(Column Space)

행렬 AA의 열벡터들의 모든 선형 결합:

C(A)={Ax∣x∈Rn}C(A) = \{A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}

이는 행렬 AA의 열벡터들이 생성(span)하는 부분공간입니다.

4.3 행공간(Row Space)

행렬 AA의 행벡터들의 모든 선형 결합입니다. ATA^T의 열공간과 같습니다:

R(A)=C(AT)R(A) = C(A^T)

4.4 기하학적 부분공간

R3\mathbb{R}^3에서:

  • 원점을 지나는 평면은 2차원 부분공간
  • 원점을 지나는 직선은 1차원 부분공간
  • 원점 자체는 0차원 부분공간

5. 부분공간의 생성(Span)

벡터들의 집합 {v1,v2,...,vk}\{v_1, v_2, ..., v_k\}에 대해, 이 벡터들의 모든 선형 결합으로 이루어진 집합을 span{v1,v2,...,vk}\text{span}\{v_1, v_2, ..., v_k\}라고 표기하며:

span{v1,v2,...,vk}={c1v1+c2v2+...+ckvk∣c1,c2,...,ck∈F}\text{span}\{v_1, v_2, ..., v_k\} = \{c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k \mid c_1, c_2, ..., c_k \in F\}

이 집합은 항상 부분공간이 됩니다.

예시:

R3\mathbb{R}^3에서 두 벡터 v1=(1,0,1)v_1 = (1, 0, 1)과 v2=(0,1,1)v_2 = (0, 1, 1)이 있을 때:

  • span{v1,v2}={(a,b,a+b)∣a,b∈R}\text{span}\{v_1, v_2\} = \{(a, b, a+b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}
  • 이는 평면 z=x+yz = x + y를 나타냅니다.

6. 벡터 공간과 부분공간의 중요성

이 개념들이 선형대수학에서 근본적인 이유는 다음과 같습니다:

  1. 선형 시스템 분석: 선형 방정식 시스템 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}의 해집합 구조는 해공간과 밀접하게 관련됩니다.

  2. 차원 축소: 고차원 데이터를 저차원 부분공간으로 투영하는 PCA(주성분 분석)와 같은 기법은 부분공간 개념에 기반합니다.

  3. 선형 변환: 선형 변환의 핵심 성질(kernel과 image)은 해공간과 열공간으로 표현됩니다.

  4. 기저와 차원: 부분공간의 '크기'를 측정하는 차원 개념과 부분공간을 효율적으로 표현하는 기저 개념은 벡터 공간 이론에서 핵심적입니다.

7. 예제: 부분공간 판별하기

예제 1:

R3\mathbb{R}^3에서 집합 S={(x,y,z)∣x+y+z=0}S = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}가 부분공간인지 판별해봅시다.

  1. 영벡터 (0,0,0)(0,0,0)은 0+0+0=00+0+0=0이므로 SS에 포함됩니다.
  2. 두 벡터 (x1,y1,z1)(x_1,y_1,z_1)와 (x2,y2,z2)(x_2,y_2,z_2)가 SS에 있다면:
    • x1+y1+z1=0x_1 + y_1 + z_1 = 0
    • x2+y2+z2=0x_2 + y_2 + z_2 = 0
    • 따라서 (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0(x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 0이므로 합도 SS에 있습니다.
  3. 스칼라 곱: c(x,y,z)c(x,y,z)가 SS에 있는지 확인하면, c(x+y+z)=0c(x+y+z) = 0이므로 SS에 있습니다.

따라서 SS는 부분공간입니다.

예제 2:

R3\mathbb{R}^3에서 집합 T={(x,y,z)∣x+y+z=1}T = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 1\}가 부분공간인지 판별해봅시다.

영벡터 (0,0,0)(0,0,0)에 대해 0+0+0=0≠10+0+0 = 0 \neq 1이므로 TT는 영벡터를 포함하지 않습니다. 따라서 TT는 부분공간이 아닙니다.

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