t 분포

• n이 30보다 충분히 큰 경우는 중심극한정리의 가정을 통해 모평균의 추론을 전개.
• 하지만 데이터의 수가 작은 경우에는 중심극한정리가 제한됨.

정의

$t=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

• 모표준편차 $\sigma$를 알 수 없기 때문에 표본표준편차 $s$로 대체
  

특징

• 표준정규분포처럼 평균 0을 기준으로 좌우대칭의 종모양
• 꼬리는 표준정규분포보다 두꺼움
• 자유도(degree of freedom)가 커짐에 따라 표준정규분포에 수렴함

자유도 degree of freedom

• 자유롭게 사용할 수 있는 데이터의 개수. 링크 참조!

• 모평균과 표본평균은 중심극한정리에 따라 매우 근사하여 대체 가능함
• 하지만 모표준편차와 표본표준편차는 구하는 공식이 완벽히 같지는 않다

• 모표준편차 - n으로 나눈다

  $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$

• 표본표준편차 - n-1로 나눈다

  $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$

예제 2) 전구의 수명시간 검정 (일표본 t검정)

Q. 한 회사에서 생산하는 전구의 평균 수명이 1000시간이라고 알려져 있습니다. 이 회사에서 생산된 전구 25개를 샘플링하여 전구의 평균 수명이 980시간이고, 표본 표준편차가 50시간이라고 할 때, 이 회사의 주장을 검증해보세요.

[요구사항]
1. 5%의 유의수준에서 t-검정을 수행하고, 귀무가설을 기각할 수 있는지 결정하세요.
2. t-통계량과 자유도를 계산하세요
3. p-value를 계산하고 이를 바탕으로 결론을 내세요.

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1. 가설 설정

• 귀무가설 $H_0$: 전구의 평균 수명이 1000시간이다. $(\mu = 1000)$
• 대립가설 $H_1$: 전구의 평균 수명이 1000시간이 아니다. $(\mu \neq 1000)$
• 표본 크기 = 25
• 표본 평균 = 1000
• 표본 표준편차 = 50
• 모평균 = 1000
• 유의수준 $\alpha=0.05$

2. t 통계량 계산

• 자유도: 25 - 1 = 24
• t = -2
  
• p-value = 0.056

3. 결론

• p-value > 0.05이므로 귀무가설 채택.
• 전구의 평균 수명은 1000시간이다.

실습 코드

import scipy.stats as stats

# 주어진 값들
n = 25  # 표본 크기
x_bar = 980  # 표본 평균
mu_0 = 1000  # 모집단 평균
s = 50  # 표본 표준편차
alpha = 0.05  # 유의수준

# t-통계량 계산
t_stat = (x_bar - mu_0) / (s / (n ** 0.5))

# 자유도 계산
df = n - 1

# p-value 계산
p_value = 2 * stats.t.cdf(-abs(t_stat), df)

# 결과 출력
print(t_stat, p_value)
alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("귀무가설을 기각합니다.전구의 평균수명은 1000시간이 아니다.")
else:
    print("귀무가설을 기각하지 못합니다. 전구의 평균 수명은 1000시간 입니다.")

결과:

-2.0 0.056939849936591666
귀무가설을 기각하지 못합니다. 전구의 평균 수명은 1000시간 입니다.

독립 표본 t 검정 (이표본 t검정)

• 두 표본 간 평균의 차이가 통계적으로 유의한지 확인

절차

1. 각 표본에서 대응되는 값을 빼 차이를 정의.

   $\overline{D}=X_1 - X_2$

2. 차이 값의 평균과 표준편차를 구한다.

   $\overline{D}, s_D$

3. 검정 통계량에도 적용시킨다.

   $\frac{\bar{D}}{\frac{s_{D}}{\sqrt{n}}}$

다시 풀어쓰면

$t = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

• 평균은 빼기
  - 독립표본 t-검정은 두 집단의 평균 차이를 검정하기 위해 시행하는 것이기 때문!
• 분산은 더하기
  - 두 집단의 변동성을 나타내기 위해서!

예제 3) 전환율 비교

Q. 회사에서 두 가지 그룹에 대한 광고 캠페인을 진행했고, 전환율 데이터를 구했다. 유의수준 0.05에서 두 그룹의 전환율 데이터가 통계적으로 유의미한지 확인하라

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1. 가설 설정

• 귀무가설 $H_0$: 두 그룹의 전환율에 차이가 없다.
• 대립가설 $H_1$: 두 그룹의 전환율에 차이가 있다.

2. 코드

import numpy as np
from scipy.stats import ttest_ind

# 그룹 A와 그룹 B의 전환율 데이터
group_a = np.array([0.045, 0.052, 0.048, 0.055, 0.049, 0.051, 0.047, 0.053, 0.050, 0.046,
                   0.054, 0.049, 0.052, 0.048, 0.055, 0.051, 0.047, 0.053, 0.050, 0.046,
                   0.054, 0.049, 0.052, 0.048, 0.055, 0.051, 0.047, 0.053, 0.050, 0.046])

group_b = np.array([0.056, 0.060, 0.052, 0.058, 0.054, 0.057, 0.053, 0.059, 0.056, 0.052,
                   0.061, 0.055, 0.058, 0.054, 0.060, 0.057, 0.053, 0.059, 0.056, 0.052,
                   0.061, 0.055, 0.058, 0.054, 0.060, 0.057, 0.053, 0.059, 0.056, 0.052])


# 독립 이표본 t-테스트 수행
t_stat, p_value = ttest_ind(group_a, group_b, equal_var=True)  # 등분산 가정

# 결과 출력
print(f"t-통계량: {t_stat:.4f}")
print(f"p-value: {p_value:.4f}")

# 유의수준 설정
alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("귀무가설을 기각합니다. 두 그룹 간 평균에 통계적으로 유의미한 차이가 있습니다.")
else:
    print("귀무가설을 기각하지 못합니다. 두 그룹 간 평균에 통계적으로 유의미한 차이가 있다는 증거가 부족합니다.")

결과:

t-통계량: -7.9099
p-value: 0.0000
귀무가설을 기각합니다. 두 그룹 간 평균에 통계적으로 유의미한 차이가 있습니다.