최소 공통 조상 (Lowest Common Ancestor, LCA)

개념

• 두 노드의 공통된 조상 중 가장 가까운 조상을 찾는 문제

동작 과정

1. 모든 노드에 대한 깊이(depth) 계산
2. 최소 공통 조상을 찾을 두 노드 확인
   1. 먼저 두 노드의 깊이(depth)가 같아질 때까지 거슬러 올라감
   2. 이후 부모가 같아질 때까지 반복적으로 두 노드의 부모 방향으로 거슬러 올라감
3. 모든 LCA(a,b) 연산에 대해 2번 과정 반복

연산 과정

• DFS를 이용해 모든 노드에 대해 깊이(depth) 계산

소스 코드 (Python)

import sys
sys.setrecursionlimit(int(1e5)) # 런타임 오류를 피하기 위한 재귀 깊이 제한 설정

n = int(input())

parent = [0] * (n + 1) # 부모 노드 정보
d = [0] * (n + 1) # 각 노드까지의 깊이
c = [0] * (n + 1) # 각 노드의 깊이가 계산되었는지 여부
graph = [[] for _ in range(n + 1)] # 그래프(graph) 정보

for _ in range(n - 1):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    graph[b].append(a)

# 루트 노드부터 시작하여 깊이(depth)를 구하는 함수
def dfs(x, depth):
    c[x] = True
    d[x] = depth
    for y in graph[x]:
        if c[y]: # 이미 깊이를 구했다면 넘기기
            continue
        parent[y] = x
        dfs(y, depth + 1)

# A와 B의 최소 공통 조상을 찾는 함수
def lca(a, b):
    # 먼저 깊이(depth)가 동일하도록
    while d[a] != d[b]:
        if d[a] > d[b]:
            a = parent[a]
        else:
            b = parent[b]
    # 노드가 같아지도록
    while a != b:
        a = parent[a]
        b = parent[b]
    return a

dfs(1, 0) # 루트 노드는 1번 노드

m = int(input())

for i in range(m):
    a, b = map(int, input().split())
    print(lca(a, b))

시간 복잡도

• $O(NM)$
  • 매 쿼리마다 부모 방향으로 거슬러 올라가기 위해 최악의 경우 $O(N)$
• 속도를 더 빠르게 하려면 ?
  • $O(MlogN)$
  • 2의 제곱 형태로 거슬러 올라가도록 하면 매 쿼리마다 부모를 거슬러 올라가기 위해 $O(logN)$
    • ex. 8칸 -> 4칸 -> 2칸 -> 1칸
    • 따라서 메모리를 조금 더 사용해 각 노드에 대해 $2^i$번째 부모에 대해 기록
  • 다이나믹 프로그래밍(dynamic programming)을 이용해 개선 가능
    • 세그먼트 트리도 이용 가능

개선된 LCA 소스코드 (Python)

import sys
input = sys.stdin.readline # 시간 초과를 피하기 위한 빠른 입력 함수
sys.setrecursionlimit(int(1e5)) # 런타임 오류를 피하기 위한 재귀 깊이 제한 설정
LOG = 21 # 2^20 = 1,000,000

n = int(input())
parent = [[0] * LOG for _ in range(n + 1)] # 부모 노드 정보
d = [0] * (n + 1) # 각 노드까지의 깊이
c = [0] * (n + 1) # 각 노드의 깊이가 계산되었는지 여부
graph = [[] for _ in range(n + 1)] # 그래프(graph) 정보

for _ in range(n - 1):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    graph[b].append(a)

# 루트 노드부터 시작하여 깊이(depth)를 구하는 함수
def dfs(x, depth):
    c[x] = True
    d[x] = depth
    for y in graph[x]:
        if c[y]: # 이미 깊이를 구했다면 넘기기
            continue
        parent[y][0] = x
        dfs(y, depth + 1)

# 전체 부모 관계를 설정하는 함수
def set_parent():
    dfs(1, 0) # 루트 노드는 1번 노드
    for i in range(1, LOG):
        for j in range(1, n + 1):
            parent[j][i] = parent[parent[j][i - 1]][i - 1]

# A와 B의 최소 공통 조상을 찾는 함수
def lca(a, b):
    # b가 더 깊도록 설정
    if d[a] > d[b]:
        a, b = b, a
    # 먼저 깊이(depth)가 동일하도록
    for i in range(LOG - 1, -1, -1):
        if d[b] - d[a] >= (1 << i):
            b = parent[b][i]
    # 부모가 같아지도록
    if a == b:
        return a;
    for i in range(LOG - 1, -1, -1):
        # 조상을 향해 거슬러 올라가기
        if parent[a][i] != parent[b][i]:
            a = parent[a][i]
            b = parent[b][i]
    # 이후에 부모가 찾고자 하는 조상
    return parent[a][0]

set_parent()

m = int(input())

for i in range(m):
    a, b = map(int, input().split())
    print(lca(a, b))