✏️ 벨만 포드 알고리즘 (Bellman-Ford)

개념

• 한 노드에서 다른 노드까지의 최단 거리를 구하는 알고리즘

특징

• 음수 간선이 포함된 상황에서의 최단 거리 문제에서 활용
  • 모든 간선의 비용이 양수일 때는 다익스트라 최단 경로 알고리즘 사용
• 음수 감선 순환 감지 가능
• 다익스트라 알고리즘에 비해 느림

동작 과정

1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 다음 과정 N - 1번 반복
   1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인
   2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블 갱신

• 만약 음수 간선 순환이 발생하는지 확인하고 싶다면 3번 과정 1번 더 수행
  • 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것

VS 다익스트라 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘
  • 매번 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
  • 음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있음

• 벨만 포드 알고리즘
  • 매번 모든 간선을 전부 확인
    • 따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함
  • 다익스트라 알고리즘에 비해 시간이 오래 걸리지만 음수 간선 순환 탐지 가능

소스 코드 (Python)

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
edges = []
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    edges.append((a, b, c))

def bf(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    # 전체 n - 1번의 라운드(round)를 반복
    for i in range(n):
        # 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
        for j in range(m):
            cur_node = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1]
            edge_cost = edges[j][2]
            # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if distance[cur_node] != INF and distance[next_node] > distance[cur_node] + edge_cost:
                distance[next_node] = distance[cur_node] + edge_cost
                # n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                if i == n - 1:
                    return True
    return False

# 벨만 포드 알고리즘을 수행
negative_cycle = bf(1) # 1번 노드가 시작 노드

if negative_cycle:
    print("-1")
else:
    # 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for i in range(2, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
        if distance[i] == INF:
            print("-1")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(distance[i])

성능 분석

• 시간 복잡도 : $O(VE)$