[알고리즘/C++] 구간 합에 대해 알아보자

구간 합 알고리즘은?

구간 합은 합 배열을 이용해 시간 복잡도를 줄이기 위해 사용되는 특수 목적의 알고리즘 입니다.

구간 합의 핵심 이론

• 구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야 합니다.

합 배열 S의 정의

• 배열 A가 있을 때, 합 배열 S는 다음과 같이 정의합니다 S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + … + A[i-1] + A[i] (A[0]부터 A[i]까지의 합)
  
• 합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열이라 생각하면 됩니다.
• 합 배열을 미리 구해놓으면, 기존 배열에서 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소합니다.
  

합 배열 S를 만드는 공식

S[i] = S[i-1] + A[i]

• 직전 인덱스의 합 배열에 현재 배열의 값을 더해주면 됩니다.

구간 합을 구하는 공식

• i에서 j까지의 구간 합 S[j] - S[i-1]

[BOJ 11659 구간 합 구하기 4]

문제

수 N개가 주어졌을 때, i번째 수부터 j번째 수까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수의 개수 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. 둘째 줄에는 N개의 수가 주어진다. 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. 셋째 줄부터 M개의 줄에는 합을 구해야 하는 구간 i와 j가 주어진다.

출력

총 M개의 줄에 입력으로 주어진 i번째 수부터 j번째 수까지 합을 출력한다.

제한

• 1 ≤ N ≤ 100,000
• 1 ≤ M ≤ 100,000
• 1 ≤ i ≤ j ≤ N

예제 입력 1

5 3
5 4 3 2 1
1 3
2 4
5 5

정답

예제 출력 1

12
9
1

#include <iostream>
using namespace std;

int s[100001];
int n, m, a;
int main() {
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a;
        s[i] = s[i-1] + a;
    }
    
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int st, en;
        cin >> st >> en;
        cout << s[en] - s[st-1] << '\n';
    }
    return 0;
}

2차원 합 배열

합 배열 정의

• 2차원 구간합 배열 D[X][Y]는 아래처럼 정의 가능합니다. D[X][Y] = 원본 배열의 (0, 0)부터 (X, Y)까지의 사각형 영역 안에 있는 수의 합
  

D[i][j]의 값을 채우는 구간 합 공식

D[i][j] = D[i][j-1] + D[i-1][j] - D[i-1][j-1] + A[i][j]

(X1,Y1) ~ (X2, Y2)까지의 구간 합 구하는 공식

D[X2][Y2] - D[X1-1][Y2] - D[X2][Y1-1] + D[X1][Y1]

[BOJ 11660 구간 합 구하기 5]

문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

문제 분석

• 입력의 구해야 하는 횟수가 100,000이고, 시간제한이 1초이기에 이중 for문을 사용해 문제를 풀면 시간초과가 납니다.
• 시간 복잡도가 O(n^2) ⇒ 연산 횟수 = 100,000 * 100,000 (10^10)> 1억 (10^8)가 되기 때문입니다.

정답 코드

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define MAX 1001

int n, m, a;
int main() {
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> arr(n+1, vector<int>(n+1, 0));
    vector<vector<int>> s(n+1, vector<int>(n+1, 0));
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + arr[i][j];
        }
    }

    for(int i = 0; i < m; i++){
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1] << '\n';
        
    }
    return 0;
}