[Distribution] 지수 분포와 포아송 분포

지수 분포 (Exponential Distribution)

사건이 일정한 평균 속도로 연속적이고 독립적으로 발생하는 과정에서 사건 사이의 거리의 확률 분포

• 즉, 특정 사건이 발생하기까지의 대기시간
• 정의: 지수 분포는 평균 발생률이 $\lambda$인 포아송 과정에서 두 연속된 사건 사이의 시간을 모델링합니다.

확률 밀도 함수(PDF):

여기서 $\lambda$는 사건의 발생률.

• 기대값(Mean): $\frac{1}{\lambda}$
• 분산(Variance): $\frac{1}{\lambda^2}$

특성:

• 무기억성(memoryless property)을 가짐.
  • 즉, $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$

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포아송 분포 (Poisson Distribution)

주어진 시간 간격 또는 공간 내에서 특정 사건이 발생하는 횟수

• 정의: 포아송 분포는 단위 시간 내에 사건이 발생하는 평균 횟수가 (\lambda)인 경우, 사건의 발생 횟수를 모델링합니다.

확률 질량 함수(PMF):

여기서 $\lambda$는 단위 시간당 평균 사건 발생 횟수

• 기대값(Mean): $\lambda$
• 분산(Variance): $\lambda$

특성:

• 시간 또는 공간 내에서 사건이 독립적으로 발생함.

지수 분포와 포아송 분포 간의 차이점 및 관계

1. 모델링 대상:
   • 지수 분포: 두 연속된 사건 사이의 시간 간격을 모델링
   • 포아송 분포: 주어진 시간 간격 내에서 사건이 발생하는 횟수를 모델링
2. 분포 유형:
   • 지수 분포: 연속 확률 분포
   • 포아송 분포: 이산 확률 분포
3. 매개변수:
   • 두 분포 모두 $\lambda$를 매개변수로 사용하지만,
     지수 분포에서는 시간 간격의 발생률,
     포아송 분포에서는 사건 발생 횟수의 평균으로 사용
4. 관계:
   • 포아송 과정에서 특정 시간 간격 내에서 사건이 발생하는 횟수가 포아송 분포를 따르고, 두 사건 사이의 시간 간격이 지수 분포를 따른다.
     • e.g., 평균적으로 매 시간당 사건이 $\lambda$번 발생하는 포아송 과정에서 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간은 지수 분포 $\text{Exp}(\lambda)$를 따른다.