첫 시작은 벨 부등식과 양자역학!

(사진, 2029년 출시 예정 세계 최초 양자 오류 내성 아키텍처 퀀텀 컴퓨터, IBM Starling)

양자역학과 벨 부등식

많은 분들이 벨 부등식(Bell's Inequality)을 양자역학이 맞다는 것을 증명하기 위해 만들어진 방정식으로 알고 있어요. 하지만 재밌게도 이 부등식은 원래 아인슈타인의 고전 물리학은 맞고, 양자역학은 틀렸다는 것을 증명하기 위해 고전 물리학의 한계선을 그어둔 방정식이었습니다. 아인슈타인이 '신은 주사위를 던지지 않는다'며 부정했던 양자의 기묘한 현상을 가둬두려 했던 틀이었어요. 하지만 실제 양자 컴퓨터로 실험을 돌려 이 부등식을 깨부수는 순간, 역설적으로 아인슈타인이 틀렸고 양자역학이 완벽하게 맞았음이 증명되었습니다.

2022년 노벨 물리학상은 벨 부등식 검증을 통해 아인슈타인의 통념을 깨고 양자역학의 실재를 증명한 과학자들에게 수여되었습니다. 벨 부등식은 고전 컴퓨터가 절대로 넘을 수 없는 확률적 한계선을 수학적으로 정의한 방정식입니다. 제가 Velog 첫 시작으로 Qiskit 1.x 환경에서 이 부등식을 검증하는 회로를 설계하고 실행해 보려는 이유도 여기에 있습니다. 또한 고전 컴퓨팅의 한계를 깨부수는 이 '양자 얽힘'의 강력한 비국소성이야말로 베네타리저브팀이 개발하고 있는 퀀텀 컴퓨팅을 위한 학습/연산/수치해석 데이터 프로비저닝 플랫폼의 핵심 뼈대이기도 합니다.

첫 주제가 '벨 부등식'?

고전 컴퓨터는 아무리 발전해도 0과 1의 확률적 숨은 변수 이론을 벗어날 수 없습니다. 아인슈타인마저 부정했던 양자 원격작용이 진짜인지 가짜인지, 고전적 한계값인 '2'를 깨부수는 과정을 Qiskit 코드로 보여드리려고 해요. 그리고 퀀텀 컴퓨팅 프로그래밍에 입문하면 제일 먼저 짜는 코드이기도 합니다.

고전 물리학계에서는 네 가지 측정 방향의 상관관계 기댓값 합이 무조건 2 이하이어야 합니다.

$|S| \le 2$

하지만 양자 컴퓨터에서 얽힘 상태를 이용하면 수학적 최대치인 Tsirelson's bound ($2\sqrt{2} \approx 2.828$)까지 도달할 수 있습니다.

시렐슨 한계(Tsirelson's bound)

이 수학식이 뜻하는 바는 생각보다 직관적입니다. 아주 멀리 떨어진 두 명의 실험자(앨리스와 밥)가 각각 동전을 던진다고 가정해 보겠습니다.
고전 물리학의 세상(우리가 사는 일상)에서는 두 사람이 아무리 사전에 정교한 전략을 짜고 동전을 던져도, 서로 독립된 동전이기 때문에 네 가지 측정 조합의 상관관계를 아무리 더하고 빼도 수학적 한계선인 '2'를 절대 넘을 수 없습니다. 이것이 바로 $|S| \le 2$가 가진 고전 물리학의 절대적인 벽입니다.
하지만 양자 컴퓨터의 세계는 다릅니다. 두 동전을 '양자 얽힘' 상태로 만들어 던지면, 두 동전이 우주 반대편에 떨어져 있어도 서로의 확률에 실시간으로 영향을 미칩니다. 넷플릭스 시리즈 '삼체'에서 지자가 수억 광년 떨어진 외계 행성과 지구 간의 기묘한 연결성을 보여주듯, 실제 정보의 초광속 전송은 불가능할지라도 두 큐비트의 상태는 우주 반대편에서도 동시성을 가집니다. 아인슈타인은 이를 고전 물리학으로 설명할 수 없어 '유령 같은 원격 작용'이라며 밀어냈지만, 양자 공간에서는 이 기묘한 상호작용 덕분에 고전의 한계선인 2를 뚫고 최대 $2\sqrt{2}$(약 2.828)라는 기적적인 수치까지 도달할 수 있게 됩니다. 물리학에서는 이 한계 수치를 발견한 과학자의 이름을 따서 '시렐슨 한계(Tsirelson's bound)'라고 부릅니다. 오늘 코드로 확인해 볼 결과가 바로 이 지점입니다. 우리가 돌린 시뮬레이터의 계산 값이 2를 넘어서 2.8에 가까운 숫자가 찍히는 순간, 우리는 앉은자리에서 고전 컴퓨터의 패러다임을 깨부수고 진정한 양자 우위의 실재를 눈으로 목격하게 되는 것입니다.

왜 하필 2.828(2√2)일까?

글을 읽으시면서 이런 의문이 드실 수 있습니다. "고전의 한계가 2인 건 알겠는데, 양자 세계에서는 왜 하필 3이나 4가 아니라 2.828이라는 애매한 숫자가 최대치일까?"
이걸 가장 쉽게 이해하는 방법은 '각도의 마법'에 있습니다.
고전 컴퓨터의 비트는 철저히 0도(0) 아니면 180도(1)라는 평면상의 직선 위에서만 움직입니다. 정반대의 방향만 존재해요. 반면 양자 컴퓨터의 큐비트는 3차원 구(Sphere) 형태의 공간을 가집니다. 즉, 앞면(0)과 뒷면(1) 사이의 '비스듬한 사선 각도'들을 자유자재로 활용할 수 있습니다. 벨 부등식을 검증할 때 앨리스와 밥은 서로의 측정 장치를 완벽한 정반대가 아니라, 서로 45도(또는 135도) 만큼 아주 절묘하게 비틀어 놓은 상태로 측정 규칙을 설계합니다.
이 45도라는 사선 각도에서 양자 얽힘 특유의 '확률적 간섭'이 가장 강력하게 일어납니다. 고등학교 수학 시간에 배웠던 삼각함수를 떠올려 보면, 이 45도 각도에서 가장 효율적으로 작동하는 값이 바로 $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 입니다.
이 절묘한 각도들의 시너지 효과를 네 가지 측정 조합에 따라 수학적으로 모두 더해 계산하면, $(\frac{1}{\sqrt{2}} \times 4)$ 에 도달하는 것이 아니라, 양자역학적 확률 파동이 중첩되면서 정확히 다음과 같은 계산 결과가 도출됩니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$

즉, 2.828은 양자 얽힘이 부릴 수 있는 '우주 기하학적 최대치'인 셈입니다. 양자 세계조차도 이 무한한 공간 안에서 허용된 자연의 절대적인 한계선(Tsirelson's bound)을 넘을 수는 없습니다.

이론적 배경은 이 정도로 퉁치고(이해 못 하셨어도 그냥 그렇구나 하고 넘어갑시다!) 이제부터 구글 Colab을 열고, Qiskit 1.x 코딩을 통해 우리의 가상 시뮬레이터가 이 우주의 마법 같은 숫자 '2.828'을 실제로 뱉어내는지 확인해봅시다!!

(다음 포스팅에서 계속)