테일러 급수(Taylor series)

IKNOW·2024년 10월 31일

테일러 급수는 특정 점 $a$ 주변에서 어떤 함수 $f(x)$ 를 다항식의 무한급수로 표현하는 방법이다. 테일러 급수를 사용하면 복잡한 함수를 다항식 형태로 근사할 수 있기 때문에 다양한 문제에서 유용하게 사용된다.

테일러 급수의 기본 개념

함수 $f(x)$ 가 $a$ 에서 미분 가능하다고 가정할 때, $f(x)$ 를 점 $a$ 주변에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

f(x) = f(a)+ f'(a)(x-a)+{f''(a)\over 2!}{(x-a)}^2 + {f'''(a)\over 3!}{(x-a)}^3 + \dots

가장 간단한 근사인 함수의 값을 점 $a$ 에서의 함수값으로 근사한다.

f(x) \approx f(a)

함수의 기울기(미분)을 추가로 이용하여 근사한다

f(x)\approx f(a) + f'(a) (x-a)

여기서 $(x-a)$ 는 $x$ 가 $a$ 에서 얼마나 떨어져 있는지 나타내며, 함수의 변화량(위의 경우 $f'(a)$ ) $x^n$ 차수로 반영하기 위해 곱해준다.

두번째 도함수(두번 미분)을 포함하여 더 정확히 근사한다.

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{f''(a)\over 2!}{(x-a)}^2

여기서 $2!$ 으로 나눠주는 이유는 $f^{(n)}(a)$ 와 관련이 있는데, $(x-a)^n$ 을 $n$ 번 미분하면 $n!$ 이 나오고 이를 보정하기 위해 ${1\over n!}$ 을 곱해준다.

위 과정을 일반화 하여 $n$ 차 근사까지 확장한다.

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + {f''(a)\over 2!}{(x-a)}^2 + \dots + {f^{(n)}(a)\over n!}{(x-a)}^n

f(x) = \sum^{\infty}_{k=0}{f^{(k)}(a)\over k!} {(x-a)}^k

테일러 급수는 복잡한 함수의 값을 다항식으로 간단하게 근사할 수 있기 때문에 강력하고, 여러 분야에서 널리 사용된다.

단, 테일러 급수가 항상 함수의 값을 정확히 근사할 수 있지는 않고, 어떤 함수의 테일러 급수가 x값에 대해서 수렴하지 않으면 근사 하기 어려울 수 있기 때문에, 수렴성 여부를 확인할 필요가 있다.

조금씩,하지만,자주