푸리에 급수

IKNOW·2024년 11월 30일

푸리에 급수

주기적인 함수를 여러 개의 삼각함수로 분해해서 나타내는 수학적 방법.

기본 개념

푸리에 급수는 다음과 같은 형태로 표현된다.

f(x)=a0+∑n=1∞(ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx))f(x) = a_0 + \sum^\infty_{n=1}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

f(x)f(x): 주기함수

a0,an,bna_0, a_n, b_n: 푸리에 계수

nn: 주파수의 정수 배수

푸리에 계수 계산

푸리에 계수는 다음과 같은 식을 사용해서 구할 수 있다.

a0=1T∫0Tf(x)dxa_0 = {1\over T} \int^T_0 f(x)dx
an=2T∫0Tf(x)cos⁡(nx)dxa_n = {2\over T} \int^T_0 f(x)\cos(nx)dx
bn=2T∫0Tf(x)sin⁡(nx)dxb_n = {2\over T} \int^T_0 f(x)\sin(nx)dx

푸리에 계수를 a0,an,bna_0, a_n, b_n을 유도하기 위해서 주어진 함수 f(x)f(x)를 삼각 함수의 조합으로 표현된다고 가정하고 orthogonality를 활용해야 한다.

주기 TT를 갖는 함수 f(x)f(x)는 푸리에 급수로 다음과 같이 표현된다고 가정하였다

f(x)=a0+∑n=1∞(ancos⁡(2πnTx)+bnsin⁡(2πnTx))f(x) = a_0 + \sum^\infty_{n=1} \left(a_n\cos\left({{2\pi n \over T}x}\right)+b_n\sin\left({{2\pi n \over T}x}\right)\right)

여기서 삼각함수의 orthognality를 사용하면 다음같다.

∫0Tcos⁡(2πnTx)cos⁡(2πmTx)dx={T2,if n=m≠0,T,if n=m=0,0,if n≠m\int^T_0\cos\left({{2\pi n\over T}x}\right)\cos\left({{2\pi m\over T}x}\right) dx = \begin{cases} {T\over 2}, && \mathrm{if}\ n = m \ne 0, \\ T, && \mathrm{if}\ n = m = 0, \\ 0, && \mathrm{if}\ n \ne m \end{cases}
∫0Tsin⁡(2πnTx)sin⁡(2πmTx)dx={T2,if n=m,0,if n≠m.\int^T_0\sin\left({{2\pi n\over T}x}\right)\sin\left({{2\pi m\over T}x}\right) dx = \begin{cases} {T\over 2}, && \mathrm{if}\ n = m, \\ 0, && \mathrm{if}\ n \ne m. \end{cases}
∫0Tsin⁡(2πnTx)cos⁡(2πmTx)dx=0\int^T_0\sin\left({{2\pi n\over T}x}\right)\cos\left({{2\pi m\over T}x}\right) dx = 0

a0a_0유도

상수항 a0a_0는 f(x)f(x)의 평균 값을 나타내기 때문에, 푸리에 급수의 양변을 적분하게 되면.

∫0Tf(x) dx=∫0Ta0+∑n=1∞(ancos⁡(2πnTx)+bnsin⁡(2πnTx))dx\int^T_0 f(x)\ dx = \int^T_0 a_0 + \sum^\infty_{n=1} \left(a_n\cos\left({{2\pi n \over T}x}\right)+b_n\sin\left({{2\pi n \over T}x}\right)\right)dx

n≥1n\ge1인 항들은 적분값이 0이 되기 때문에,

∫0Tf(x)dx=a0T\int^T_0 f(x) dx = a_0 T

가 나오고 T로 나누어 주면

a0=1T∫0Tf(x)dxa_0 = {1\over T} \int^T_0 f(x) dx

를 구할 수 있다.

ana_n유도

푸리에 급수 양변에 cos⁡(2πnTx)\cos\left({{2\pi n\over T}x}\right)를 곱하고 적분한다.

∫0Tf(x)cos⁡(2πnTx)dx=∫0T(a0+∑m=1∞(amcos⁡(2πmTx)+bmsin⁡(2πmTx)))cos⁡(2πnTx)dx\int^T_0 f(x)\cos\left({{2\pi n\over T}x}\right) dx = \int^T_0\left(a_0 + \sum^\infty_{m=1}\left(a_m\cos\left({{2\pi m\over T}x}\right)+b_m\sin\left({{2\pi m\over T}x}\right)\right)\right)\cos\left({{2\pi n\over T}x}\right) dx

정규 직교 조건에 의해 다음과 같다.

  • m=0m=0인 경우: ∫0Tcos⁡2(2πnTx)dx=T/2\int^T_0 \cos^2\left({{2\pi n\over T}x}\right)dx = T/2
  • m≠nm\ne n인 경우: 적분값 → 0

따라서

∫0Tf(x)cos⁡(2πnTx)dx=T2an\int^T_0 f(x)\cos\left({2\pi n \over T}x\right)dx = {T\over 2}a_n

정리하면

an=2T∫0Tf(x)cos⁡(2πnTx)dxa_n = {2\over T}\int^T_0 f(x) \cos\left({2\pi n \over T} x\right) dx

bnb_n유도

위의 ana_n유도와 같은 방식으로 sin⁡(2πnTx)\sin\left({2\pi n\over T}x\right)를 곱하고 적분한 이후 정규 직교 조건을 이용하면

bn=2T∫0Tf(x)sin⁡(2πnTx)dxb_n = {2\over T}\int^T_0 f(x) \sin\left({2\pi n \over T} x\right) dx

임을 확인 할 수 있다.

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