정규 분포와 연관된 Gaussian function, Gaussian distribution(feat. wikipedia)
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function a , b , a, b, a , b , c c c
기본형f ( x ) = e x p ( − x 2 ) f(x) = exp(-x^2) f ( x ) = e x p ( − x 2 )
파라미터 추가형f ( x ) = a e x p ( − ( x − b ) 2 2 c 2 ) f(x) = aexp(-\frac{(x-b)^2}{2c^2}) f ( x ) = a e x p ( − 2 c 2 ( x − b ) 2 )
그래프의 특징은 종형 곡선("bell curve")의 좌우 대칭의 형태이고,a a a b b b c c c
가우스 함수 기본형의 적분 값
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x I 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y 직교좌표계 → 극좌표계 { x = r c o s θ , − ∞ < x < ∞ → 0 < r < ∞ y = r s i n θ , − ∞ < y < ∞ → 0 < θ < 2 π d x d y → r d r d θ I 2 = ∫ θ = 0 2 π d θ ∫ r = 0 ∞ e − r 2 r d r = 2 π ∫ r = 0 ∞ e − r 2 r d r s = − r 2 으로치환 d s = − 2 r d r r d r = − 0.5 d s I 2 = 2 π ∫ s = 0 − ∞ − 0.5 e u d u = 2 π × − 0.5 × ( 0 − 1 ) = π 가우스함수의적분값 , I = π I = \int^{\infin}_{-\infin} e^{-x^2}dx \\ I^2 = \int^{\infin}_{-\infin} e^{-x^2}dx \int^{\infin}_{-\infin} e^{-y^2}dy \\ = \int^{\infin}_{-\infin}\int^{\infin}_{-\infin} e^{-(x^2+y^2)}dxdy \\ 직교 좌표계 \rarr 극 좌표계 \begin{cases} x = rcos\theta, \quad -\infin < x < \infin \rarr 0 < r < \infin \\ y = rsin\theta, \quad -\infin < y < \infin \rarr 0 < \theta < 2\pi \\ dxdy \rarr rdrd\theta \end{cases} \\ I^2 = \int^{2\pi}_{\theta=0}d\theta \int^{\infin}_{r=0} e^{-r^2} rdr \\ = 2\pi \int^{\infin}_{r=0} e^{-r^2} rdr \\ s = -r^2으로 치환 \\ ds = -2rdr \\ rdr = -0.5ds \\ I^2 = 2\pi \int^{-\infin}_{s=0} -0.5e^u du \\ = 2\pi \times-0.5 \times (0-1) = \pi \\ 가우스 함수의 적분 값,\, I = \sqrt{\pi} I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x I 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y 직 교 좌 표 계 → 극 좌 표 계 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = r c o s θ , − ∞ < x < ∞ → 0 < r < ∞ y = r s i n θ , − ∞ < y < ∞ → 0 < θ < 2 π d x d y → r d r d θ I 2 = ∫ θ = 0 2 π d θ ∫ r = 0 ∞ e − r 2 r d r = 2 π ∫ r = 0 ∞ e − r 2 r d r s = − r 2 으 로 치 환 d s = − 2 r d r r d r = − 0 . 5 d s I 2 = 2 π ∫ s = 0 − ∞ − 0 . 5 e u d u = 2 π × − 0 . 5 × ( 0 − 1 ) = π 가 우 스 함 수 의 적 분 값 , I = π 정규분포 적분
g ( x ) = 정규분포함수 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) d x = 1 σ 2 π ∫ − ∞ ∞ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x w h e r e , t = x − μ 2 σ = 1 π ∫ − ∞ ∞ e − t 2 d t = 1 g(x) \quad = \quad 정규분포 함수 \\ \int^{\infin}_{-\infin} g(x) dx \\ = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int^{\infin}_{-\infin} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \\ where, \quad t = \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \\ = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int^{\infin}_{-\infin} e^{-t^2} dt = 1 \\ g ( x ) = 정 규 분 포 함 수 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) d x = σ 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ e − 2 σ 2 ( x − μ ) 2 d x w h e r e , t = 2 σ x − μ = π 1 ∫ − ∞ ∞ e − t 2 d t = 1 