해당 포스트는 (이코테 2021 강의 몰아보기) 7. 최단 경로 알고리즘를 참고한 자료입니다.

최단 경로 문제

• 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미합니다.
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

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다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산합니다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작합니다.
  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않습니다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됩니다.
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.

알고리즘의 동작 과정

1. 출발 노드를 설정합니다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화합니다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복합니다.

다익스트라 알고리즘의 특징

• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 바뀌지 않습니다.
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있습니다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스 코드에 추가적인 기능을 넣어야 합니다.

다익스트라 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 알아보기
n, m = map(int,input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())    
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph =[[] for i in range(n+1)]

visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF] * (n +1)

# 모든 간선에 대한 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int,input().split())
    # a 번 노드에서  b번 노드로 가는 비용이 c 라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위핸 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 만약 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else: 
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 성능 분석

• 총 O(v)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 합니다.
• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(v^2)입니다.
• 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있습니다.

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우선순위 큐

• 우선 순위가 가장 높은 데이터를 먼저 삭제하는 자료구조

힙(heap)

• 우선 순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나입니다.
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있습니다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용됨.
  

최소 힙 코드

import heapq

# 오름차순 정렬
def heapsort(iterable):
    h =[]
    result =[]
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h,value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,5,6,8,9])
print(result)

최대 힙 코드

import heapq

# 오름차순 정렬
def heapsort(iterable):
    h =[]
    result =[]
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h,-value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,5,6,8,9])
print(result)

python은 최대 힙 자료구조를 지원하지 않기 때문에 다음과 같이 구현합니다.

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다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(heap) 자료 구조를 이용합니다.

다익스트라 알고리즘 개선된 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 알아보기
n, m = map(int,input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())    
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph =[[] for i in range(n+1)]

visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF] * (n +1)

# 모든 간선에 대한 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int,input().split())
    # a 번 노드에서  b번 노드로 가는 비용이 c 라는 의미
    graph[a].append((b,c))



def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start] = 0
    while q:
        # 최단 거리가 가장 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 , 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위핸 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 만약 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else: 
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)입니다.
• 노드를 하나씩 꺼내서 검사하는 반복문은 노드의 개수 v이상의 횟수로는 처리되지 않습니다.
  • 결과적으로 현재 우선 순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간산의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있습니다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선 순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사합니다.
  • 시간 복잡도는 O(ElogE)로 판단할 수 있습니다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있습니다.
    • O(ElogE) -> O(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)

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플로이드 워셜 알고리즘 개요

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산합니다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행합니다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않는 노드 중에 최단 거리를 갖는 과정이 필요하지 않습니다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장합니다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속합니다.

알고리즘 과정

• 각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐 가는 경우를 확인합니다.
  • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사합니다.
    

플로이드 워셜 알고리즘 코드

INF =int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())    
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a,b,c = map(int,input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n +1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+ graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end="")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행합니다.
  • 각 단계마다 O(n^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려합니다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(n^3)입니다.

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벨만 포드 알고리즘

• 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있습니다.
  • 음수 간선의 순환을 감지할 수 있습니다.
  • 벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 O(VE)로 다익스트라 알고리즘에 비해 느립니다.

벨만 포드 알고리즘의 동작 방식

1. 출발 노드를 설정합니다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화합니다.
3. 다음의 과정을 N-1번 반복합니다.
   1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인합니다.
   2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.

• 만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번의 과정을 한 번 더 수행합니다.
  • 이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것입니다.

벨만 포드 알고리즘 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF =int(1e9)
n,m = map(int,input().split())
edges =[]
dist= [INF] * (n+1)

for _ in range(m):
    a,b,c = map(int,input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    edges.append((a,b,c))

def bf(start):
    dist[start] = 0
    # 전체 n번의 라운드 (round) 반복
    for i in range(n):
        # 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
        for j in range(m):
            cur = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1] 
            cost = edges[j][2]
            # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if dist[cur] != INF and dist[next_node] > dist[cur] + cost:
                dist[next_node] = dist[cur] + cost
                # n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                if i == n-1:
                    return True
    return False

# 벨만 포드 알고리즘을 수행
negative_cycle = bf(1)  

if negative_cycle:
    print(-1)
else:
    # 1번 노드를 제외한 다른 모드 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
    for i in range(2,n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
        if dist[i] == INF:
            print(-1)
        else:
            print(dist[i])

벨만 포드 알고리즘 vs 다익스트라 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘
  • 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.
  • 음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있습니다.
• 벨만 포드 알고리즘
  • 매번 모든 간선을 전부 확인합니다.
    • 따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함합니다.
  • 다익스트라 알고리즘에 비해서 시간이 오래 걸리지만 음수 간선 순환을 탐지할 수 있습니다.

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문제 모음.

<문제> 전보

문제

코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여 큐에 삽입.
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start] = 0
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))
n, m , start = map(int,input().split())
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    x,y,z = map(int,input().split())
    # x번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
    graph[x].append((y,z))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서 , 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count -1을 출력
print(count -1, max_distance)

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<문제> 미래 도시: 문제 설명

문제

코드

import sys
import heapq

INF = int(1e9)

input= sys.stdin.readline

n , m = map(int,input().split())

graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

for _ in range(m):
    a, b = map(int,input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

x, k = map(int,input().split())

for i in range(1,n+1):
    graph[i][i] = 0

for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n +1):
        for b in range(1, n +1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]
# 도달할 수 없는 경우
if distance >= INF:
    print(-1)
else:
    print(distance)