그래프 알고리즘 - Union Find , LCA

Union Find (서로소 집합)

• 서로소 판별을 위한 자료구조임.

• 합집합 찾기, 찾기등 에 대한 연산을 지원함.

• 연결된 최상위 부모를 찾을 때 쓰임.

  • 합집합 연산을 확인하여 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인.
  • A,B의 루트 노드 A',B' 찾음.
  • A'을 B'의 부모 노드로 설정...
  • 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 반복

• 연결성을 통해 손쉽게 형태를 확인할 수 있음.

def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

• 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 수 있음.

  • 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

    • 루트 노드가 다르다면 두 노드에 대해 합집합 연산 수향
    • 다르다면 사이클이 발생한 것임.

  • 모든 간선에 대해 위 과정을 반복함.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

LCA

• 노드의 공통된 조상 중에서 가장 가까운 조상을 찾기 위함.

알고리즘

1. 모든 노드에 대한 깊이를 계산.
2. 최소 공통 조상을 찾을 두 노드를 확인.
   2-1. 두 노드의 깊이가 동일하도록 거슬러 올라감.
   2-2. 부모가 같아질 때 까지 반복하며 두 노드의 부모 방향으로 거슬러 올라감.
3. 모든 LCA(a,b) 에 대해 2번 과정을 반복함.

def find_depth_dfs(x,depth):
  c[x] = True
  d[x] = depth
  for i in g[x]:
    if c[i]:
      continue
    parent[i] = x
    find_depth_dfs(i,depth+1)

def lca (a,b):
  # depth가 동일하도록 만듦
  while d[a] != d[b]:
    if d[a] > d[b]:
      a = parent[a]
    else:
      b = parent[b]
  # 노드가 같아지도록 만듦
  while a != b:
    a= parent[a]
    b= parent[b]
  
  return a