최단 경로 알고리즘

최단경로 문제

• 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘.
  • 한 지점에서 다른 지점까지의 최단 경로.
  • 한 지점에서 모든 지점까지의 최단 경로.
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로.
• 지점은 노드로, 연결은 간선으로 표현됨
  

다익스트라 최단 경로 알고리즘.

• 특정란 노드에서 출발해 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산.
• 음의 간선에 표현 되지 않기에 현실 세계에서 하기 좋음.
• 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택하기 때문에 그리디, dp 알고리즘 일 수 있음.
• 한 단계를 거칠때 마다 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾을 수 있음.
• O(n^2) 이기 때문에 시간 초과가 날 수 있음.
• 동작 과정
  • 출발 노드 설정.
  • 최단 거리 테이블 초기화 (무한으로 설정하고 자기 자신은 0 )
  • 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택.
  • 해당 노드 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산해 갱신
  • 3,4번의 반복.

# 최단 거리 찾기. # 방문 체크
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

우선순위 큐 in 다익스트라

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조 사용.
• 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야하는 경우에 이용할 수 있음.
• 다익스트라의 시간 복잡도 단점을 개선하기 위해 최소 힙 사용됨.

import heapq
# 최소힙
def heapsort(iterable):
	h = []
    res = []
    for val in iterable:
    	heapq.heappush(h,val)
    for i in range (len(h)):
    	res.append(heapq.heappop(h))
    return res
# 최대힙
def heapsort(iterable):
	h = []
    res = []
    for val in iterable:
    	heapq.heappush(h,-val)
    for i in range (len(h)):
    	res.append(-heapq.heappop(h))
    return res

• 이중 최소힙을 사용해 최단거리 노드 도출을 하면 더욱 빠른 시간 복잡도를 가질 수 있음.
  • 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입
  • 큐에서 원소를 꺼낸다. 그 후 꺼낸 노드의 방문처리.
  • 꺼낸 노드의 인접 노드 거쳐갈 때의 거리와 현재 인접 노드의 값과 비교해 작으면 갱신
  • 인접 노드의 거리를 힙에 넣어줌.

# 노드의 수가 많을때 최단 거리를 찾아야 할때
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산함
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보 저장하는 DP 유형에 속함.
• O(n^3)이라 노드가 많다면 다익스트라를 사용해야한다.
• (a: 출발 , b : 도착 , k : 거쳐가는 노드 ) Dab = min (Dab , Dak + Dkb)

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

벨만 포드 알고리즘 ( 음수 간선 포함 최단거리 )

• 음수 간선이 존재하는 경우.
• 음수 간선의 순환을 감지할 수 있음.
  • 음수 간선 순환이 없는 경우
  • 음수 간선 순환이 있는 경우
• 동작 원리
  1. 시작 정점을 결정한다.
  2. 시작 정점부터 다른 정점까지 거리 값 모두 무한대로 초기화한다. (시작 정점은 0으로 초기화)
  3. 현재 정점의 모든 인접 정점들을 탐생하며, 기존에 기록된 인접 정점까지의 거리보다 현재 정점을 거쳐 인접 정점에 도달하는 거리가 더 짧다면 인접 정점까지의 거리를 갱신한다.
  4. 3번 과정을 V−1번 반복한다.
  5. 위 과정을 모두 마친 후에도 거리가 갱신되는 경우가 있다면 그래프에 음수 사이클이 존재한다는 것을 알 수 있다.

문제 예시

• 전보
• 미래도시