[선형대수] Lecture 19: Determinant formulas and cofactors

이재호·2025년 3월 13일
선형대수

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https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

지난 강의에서 determinations의 properties에 대해서 배웠다.

det⁡(I)=1: ∣1001∣=1\det(I)=1 : \ \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=1
sign reverse with row exchange.: ∣0110∣=−1\text{sign reverse with row exchange.} : \ \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix}=-1
det⁡ is linear in each row separtely: ∣abcd∣=∣a0cd∣+∣0bcd∣\text{$\det$ is linear in each row separtely} : \ \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & 0 \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ c & d\end{vmatrix}

이번 강의에서는 determination의 공식에 대해서 배운다.

다음과 같은 determination 식을 보자.

 ∣abcd∣=∣a0cd∣+∣0bcd∣=(∣a0c0∣+∣a00d∣)+(∣0bc0∣+∣0b0d∣)=ad−bc\ \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & 0 \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ c & d\end{vmatrix}=(\begin{vmatrix}a & 0 \\ c & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{vmatrix})+(\begin{vmatrix}0 & b \\ c & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ 0 & d\end{vmatrix}) = ad - bc

위에서 결국에는 주대각 성분 혹은 reverse 대각 성분만 남는 것을 확인할 수 있다.
(∣a00d∣,∣0bc0∣\begin{vmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}0 & b \\ c & 0\end{vmatrix})

그렇다면 3×33 \times 3 행렬식은 어떨까? 식은 다음과 같다.

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=...=∣a11000a22000a33∣+∣a110000a230a320∣+∣0a120a210000a33∣+∣0a12000a23a3100∣+∣00a13a21000a320∣+∣00a130a220a3100∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = ... = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \\ \end{vmatrix} \\ + \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}

같은 행 또는 열이 아닌 독립적인 위치의 원소들의 곱으로 된 규칙이 보인다. 그리고 절반은 + 기호를, 나머지 절반은 - 기호를 갖는 것을 확인할 수가 있다.

이제 이를 공식화해보자.

Big Formula\text{Big Formula}
det⁡(A⏟n×n)=∑n! terms±a1αa2βa3γ...anω\det(\underbrace{A}_{n\times n}) = \sum_{n! \ terms} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}...a_{n\omega}
(α,β,γ,ω)=permutations of (1,2,3,...,n)(\alpha, \beta, \gamma, \omega)=permutations \ of \ (1,2,3,...,n)

위 공식에 맞춰 예시를 적용해보자.
ex.

∣0011011011001001∣\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix}

위 행렬식에 대해서 공식을 적용하면 어떻게 될까? (같은 행, 열이 아닌 독립적인 위치를 갖는 원소들의 곱)

∣0011011011001001∣=∣0010010010000001∣+∣0001001001001000∣=−1+1=0\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = -1 + 1 = 0

공식을 이용해 다음과 같이 행렬식 값이 0이라는 것을 알 수가 있다.

다음으로 "Cofactor"에 대해서 알아본다.
예시로 3×33 \times 3 행렬식의 cofactors를 구해보자.

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31=a11(a22a33−a23a32)+a12(−a21a33+a23a31)+a13(a21a32−a22a31)\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \\ = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) + a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})

위에서 (a22a33−a23a32),(−a21a33+a23a31),(a21a32−a22a31)(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}), (-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31}), (a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})가 a1_a_{1\_}의 cofactors에 해당한다.

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

Cofactor of aij=±det⁡(n−1 matrix with row i and column j erased)=Cij(+. if i+j=even)(−. if i+j=odd)\text{Cofactor of $a_{ij}$} = \pm \det(\text{$n-1$ matrix with row $i$ and column $j$ erased})=C_{ij} \\ \text{($+$. if $i+j=even$)} \\ \text{($-$. if $i+j=odd$)}

이제 공식을 다시 작성해보자.

Cofactor Formula (along row 1)\text{Cofactor Formula (along row $1$)}
det⁡(A)=a11C11+a12C12+a13C13+...+a1nC1n\det(A) = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+...+a_{1n}C_{1n}

위 공식을 예제에 적용해보자.
ex.

∣A4∣=∣1100111001110011∣|A_4| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}

위에서 ∣A4∣|A_4|를 구하는 방법은 아래와 같다.

∣A1∣=∣1∣=1|A_1|=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1
∣A2∣=∣1111∣=0|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0
∣A3∣=∣110111011∣=1∣1111∣−1∣1101∣+0=−1|A_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{vmatrix}+0 = -1
∣A4∣=∣1100111001110011∣=1∣110111011∣−1∣110011011∣=∣A3∣−∣A2∣=−1|A_4| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}- 1\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = |A_3| - |A_2| = -1

위와 같이 ∣A4∣|A_4|를 구할 수가 있다. 그리고 위에서 ∣An∣=∣An−1∣=∣An−2∣|A_n|=|A_{n-1}|=|A_{n-2}| 라는 규칙을 발견할 수가 있다. 이어서 ∣A5∣,∣A6∣,∣A7∣,...|A_5|, |A_6|, |A_7|, ...을 구해보자.

∣A5∣=∣A4∣−∣A3∣=0|A_5|=|A_4|-|A_3|=0
∣A6∣=∣A5∣−∣A4∣=1|A_6|=|A_5|-|A_4|=1
∣A7∣=∣A6∣−∣A5∣=1|A_7|=|A_6|-|A_5|=1
∣A8∣=∣A7∣−∣A6∣=0...|A_8|=|A_7|-|A_6|=0 \\ ...

그리고 ∣A1∣|A_1|부터 값을 나열해보니 다음과 같은 패턴을 발견할 수가 있었다.

1 0 -1 -1 0 1⏟ 1 0 -1 -1 0 1⏟ ...\underbrace{\text{1 0 -1 -1 0 1}} \ \underbrace{\text{1 0 -1 -1 0 1}} \ ...
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