[선형대수] Lecture 20: Cramer's rule, inverse matrix, and volume

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

이번 강의에서는 다음과 같은 내용을 다룬다.

먼저 1. formular for $A^{-1}$을 알아보자.
2 x 2 matrix의 역함수 공식은 다음과 같다.

그렇다면 2 x 2가 아닌 n x n 행렬의 역행렬 공식은 어떻게 될까?

위에서 $C^T$는 Cofactors matrix의 Transpose한 행렬이다.
위 2 x 2의 행렬의 예시를 보자.

그렇다면 어떻게 위 역행렬 공식을 증명할 수 있을까?
이를 위해 $AC^T=(\det A)I$ 라는 걸 증명해보자.
(지난 강의에서 배운 $\det A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n}$을 이용한다.)

위와 같이 $AC^T$의 결과가 $(\det A)I$라는 것을 확인할 수가 있다.
왜 주대각 성분을 제외한 나머지가 0인지는 같은 행 혹은 열을 포함한 cofactor와 $a_{ij}$의 연산은 최종적으로 다 합하면 결과가 0이 나오기 때문이다.
다음 예시를 통해 이해할 수 있다.

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이제 2. Cramer's Rule for $X=A^{-1}b$를 알아보자.
위에서 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}C^T$라는 공식을 알았다. 이를 적용한다.

그리고 Cramer's rule은 다음과 같다.

즉, $B_1$은 $A$의 칼럼 중 1번 칼럼을 $b$로 교체하고 나머지는 그대로 놔둔 행렬이다.

(특별한 수학적 원리가 있기보다는 이러한 규칙을 발견했다는 데 의의가 있다.)

하지만 Cramer's Rule은 연산 비용이 매우 많이 들어 추천되지 않는 방법이다.

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다음으로 3. $|\det A|=\text{Volume of box}$ 를 알아보자.

$|\det A|=\text{Volume of box}$

위와 같이 3 x 3 행렬 $A$의 determination을 그려보면 박스의 부피로 나오는 것을 알 수가 있다.

1. 그렇다면 만약 $A=I$라면 어떨까?
   • 이 경우, box는 unit cube 형태로 나올 것이다.
2. 만약 $A=Q$ ($Q$는 orthogonal matrixf를 의미)라면 어떨까?
   • 이 경우, box는 cube 형태로 나오며, 값은 $-1$ 또는 $1$일 것이다.
   • $Q^TQ=I$
   • $\det (Q^TQ)=\det I = 1$
   • $\det Q^T \det Q=1$
   • $(\det Q)^2=1$
   • $\therefore \det Q = 1 \ or -1$

$|\det A|=\text{Volume of box}$ 식이 지지난 강의에서 배운 properties of determinations에도 적용이 될까? 한 번 확인해보자.

1. $\det I = 1$
   • 이건 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 벡터를 그려보면,
     $|\det A|=|1|=1=\text{Volume of box}$ 라는 걸 알 수 있다.
2. $\begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix}=-1$
   • 마찬가지로 $|\det A|=|-1|=1=\text{Volume of box}$ 라는 걸 알 수 있다.
3. (a) $\begin{vmatrix}ta & tb \\ c & d\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$ (b) $\begin{vmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a' & b' \\ c & d\end{vmatrix}$
   • (a) 벡터 $(a, b)$에 $t$만큼 곱해주면 벡터는 그만큼 더 나아간다. 그리고 역시 부피도 그만큼 증가할 것이다.
   • (a) 따라서 $|\det A_t|=|t\det A|=\text{$t \times$ Volume of box of $A$}$ 라는 걸 알 수 있다.
   • (b)에 대해서는 시간상 확실한 설명은 없었다. 아마 두 개의 평면(박스)이 나올 것이고, 이 두 평면(박스)의 넓이(부피)를 더해주면 같다는 걸 증명할 수 있을 것 같다.