[선형대수] Lecture 23: Differential equations and exp(At)

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

오늘 강의에서 배울 내용은 다음과 같다.

• Differential Equations $\frac{du}{dt}=Au$
• Exponential $e^{At}$ of a matrix (지난 강의에서 배운 $A^k$의 연장선)

먼저 다음과 같은 조건을 제시한다.

위 경우에 대해서 eigenvalues, eigenvectors를 구해보자.

• 우선 $A$는 singular matrix이다. 따라서 $\lambda_1$은 0이 나올 것이고, $trace=-1-2=\lambda_1 + \lambda_2$가 되어 $\lambda_2$는 -3이 나올 것이다.
• 다음으로 eigenvectors $x_1,x_2$를 구해보자.

그리고 solution은 공식은 다음과 같다.

공식이 맞는지 확인하기 위해 $u=e^{\lambda_1t}x_1$을 대입하여 $\frac{du}{dt}=Au$ 가 맞는지 확인해보자.

이제 $\frac{du}{dt}=Au$ 을 확인해본다.

즉, $Ax=\lambda x$ 꼴의 eigenvalue, eigenvector 로 표현이 가능하므로, 위 공식($solution : u(t)=c_1e^{\lambda_1 t}x_1+c_2e^{\lambda_2 t}x_2$)이 True라는 것을 알 수 있다.

그리고 $u(t)$를 다음과 같이 볼 수도 있다. (지난 강의에서 배운 $u_{k+1}=Au_k$ 를 이용해서)

이제 $u(t)=c_1e^{\lambda_1 t}x_1+c_2e^{\lambda_2 t}x_2$에 위에서 구한 $\lambda_1, x_1, \lambda_2, x_2$를 대입한 후, 아까 $u(0)=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$을 대입하여 $c_1,c_2$를 구해보자.

이렇게 하여 $u(t)=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}+\frac{1}{3}e^{-3t}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 이라는 것을 구할 수 있다.

그렇다면 만약 $t\to\infty$ 라면 어떨까? 아마 $u(t)\to \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$로 나올 것이다.

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따라서 다음과 같이 생각해볼 수 있다. ($\lambda \in \mathbb{R}$)

예를 들어 1. stablility를 만족하는 조건을 생각해보자. (우리는 모든 eigenvalue에 대해서 $\lambda<0$을 원하고 있다.)

위와 같이 두 개의 조건 1, 2를 만족하면 $u(t)\to 0$ 를 얻을 수 있다.

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$t\to\infty$ 상황이라고 가정하고, 아까 구한 $u(t)$ 솔루션의 $c$를 구하는 방법을 일반화해보자. 아까 예시의 $u(t)=c_1\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}+c_2e^{-3t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}$ 에 적용한다.

이어서 $\frac{du}{dt}=Au$에 $u=Sv$를 대입하여 보자.

지난 강의에서 배운 $S^{-1}ASx = \Lambda x$ 를 적용하였다.

따라서 다음과 같이 해석이 가능하다.

그리고 다음과 같이 표현이 가능하다. (지난 강의에서 배운 행렬의 제곱 공식처럼)

그리고 테일러 급수 $e^x=\sum_{0}^n\frac{x^n}{n!}$ -> $\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^mx^n$을 위 식에 활용해보자.

그러면 이제 $u(t)=Se^{\Lambda t}S^{-1}u(0)=e^{At}u(0)$가 어떻게 나왔는지 알아보자.

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다음으로 $y''+by'+ky=0$ 에 대해서 $u=\begin{bmatrix}y' \\ y\end{bmatrix}$, $u'=\begin{bmatrix}y'' \\ y'\end{bmatrix}$라고 가정해보자. 그리고 $u'$을 $u$에 대해서 다음과 같이 수정할 수 있다.