[선형대수] Lecture 22: Diagonalization and powers of A

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

이번 강의에서는 다음 내용을 다룬다.

• "Diagonalization a matrix $S^{-1}AS=\Lambda$"
• "Powers of $A$"
• "equation $u_{k+1}=Au_k$"

우선 지난 강의에서 eigenvalues and eigenvectors를 배웠다.

• $Ax=\lambda x$
• $A-\lambda I : singular$ ($\det(A-\lambda I)=0$)

먼저, 행렬 $A$의 $n$개의 independent한 egienvectors를 $S$라는 행렬의 칼럼으로 놔보자.

그리고 다음과 같이 $AS$를 구해보자.

위 과정에서 $AS=S\Lambda$ 라는 것을 알았다.
그러면 위로부터 다음과 같은 수식도 알 수 있을 것이다.

이제 위 수식을 이용해서 더 알아보자.

만약 $Ax=\lambda x$인 경우에, $A^k$은 어떻게 나올까? 다음 식을 보자.

이전에 배웠다시피 $A$가 변해도 eigenvector에는 변화가 없고 eigenvalue만 변한다.
이어서 다음을 보자.

마찬가지로 $A=S\Lambda S^{-1}$ 수식에서 $A$가 변해도 eigenvectors의 행렬은 변화가 없고 빅 람다 $\Lambda$ 값만 변한다.

따라서 위로부터 다음과 같은 추정이 가능하다.

왜냐하면 $\Lambda<1$이 되어, $\Lambda^{\infty}\to0$가 될 것이기 때문이다. 따라서 $A^k=S\Lambda^k S^{-1}$에 의해 $A^k\to 0$가 된다.

그리고 다음과 같은 추정도 가능할 것이다.

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이제 $u_{k+1}=Au_k$에 대해서 알아보자. $u_o$부터 시작하여 아래 수식을 정리해보자.

즉 $u_{k+1}=Au_k$와 같은 규칙이 존재할 때, $u_k=A^ku_0$ 라는 것을 알 수 있다.
계속 이어서 보자.

또한 $u_{k+1}=Au_k$와 같은 규칙이 존재할 때, $A^{k}u_0=\Lambda^kSc$ 라는 것을 알 수 있다.

한번 예시를 적용해보자.
다음은 Fibonacci 수열의 예시이다.

여기에 약간의 변형을 가하여 $u_{k+1}=Au_k$ 규칙을 적용해보자.

위와 같이 변형을 통해 $u_{k+1}=Au_k$ 형태로 만들었다.
그럼 계속해서 이어가 보자.

따라서 피보나치 수열 값이 커지면 $\lambda_1$만 남을 것이다. ($\lambda_2$는 1보다 작으므로 $k\to\infty$면 $A^k\to0$이 됨.)
그러므로 $F_{100}$은 다음과 같다.

이제 $x_1,x_2$도 이어서 구해보자.

이제 $u_0=c_1x_1+c_2x_2$에 $x_1,x_2$를 적용하면,

$c_1,c_2$ 값을 구할 수 있을 것이다.

따라서 피보나치 수열을 1부터 시작하지 않아도 바로 $F_{100} \approx c_1(\frac{1+\sqrt5}{2})^{100}$로 값을 구할 수가 있다.