행렬의 곱

Jacob Kwon·2025년 2월 4일

선형대수학

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행렬의 곱셈에서 비가환성: ( AB \neq BA )

1️⃣ 행렬 곱셈의 일반적인 성질

두 행렬 ( A ) 와 ( B ) 에 대해, 일반적으로 행렬 곱셈은 교환법칙(Commutative Property)을 따르지 않는다.
즉,

AB \neq BA

가 성립하는 경우가 많다.

즉, 행렬의 곱셈은 순서에 따라 결과가 달라질 수 있다! 🚨

2️⃣ 예제: ( AB \neq BA ) 인 경우

예를 들어, 다음과 같은 두 개의 ( 2 \times 2 ) 행렬을 생각해 보자.

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

이제 ( AB ) 를 계산하면:

AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1\cdot 0 + 2\cdot 1) & (1\cdot 1 + 2\cdot 0) \\ (3\cdot 0 + 4\cdot 1) & (3\cdot 1 + 4\cdot 0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}

이제 ( BA ) 를 계산하면:

BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0\cdot 1 + 1\cdot 3) & (0\cdot 2 + 1\cdot 4) \\ (1\cdot 1 + 0\cdot 3) & (1\cdot 2 + 0\cdot 4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

여기서,

AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = BA

즉, ( $AB$ $\neq$ $BA$ ) 이다.

3️⃣ 언제 ( AB = BA ) 가 될까?

다음과 같은 특별한 경우에는 ( AB = BA ) 가 될 수도 있다.

( A ) 와 ( B ) 가 모두 항등행렬(Identity Matrix)일 때
$AI = IA = A, \quad BI = IB = B$
( A ) 와 ( B ) 가 모두 대각행렬(Diagonal Matrix)일 때
만약 두 행렬이 모두 대각행렬이면 행렬 곱셈이 교환 가능할 수도 있다.
( A ) 와 ( B ) 가 특정한 스칼라배 관계일 때
예를 들어 ( A = cB ) 처럼 한 행렬이 다른 행렬의 상수배인 경우, ( AB = BA ) 가 될 수도 있다.
( A ) 와 ( B ) 가 서로 역행렬 관계일 때
만약 ( A ) 와 ( B ) 가 서로의 역행렬(Inverse Matrix) 이면:
$AB = BA = I$

그러나 일반적으로 대부분의 경우 ( AB \neq BA ) 이므로 행렬 곱셈에서는 순서를 신경 써야 한다! 🚨

4️⃣ 핵심 요약

✅ 행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 따르지 않는다!
✅ 즉, ( AB \neq BA ) 가 성립하는 경우가 많다.
✅ 특정한 경우(항등행렬, 대각행렬, 스칼라배 관계 등)에서는 ( AB = BA ) 가 될 수도 있다.
✅ 따라서, 행렬을 곱할 때는 반드시 순서를 고려해야 한다!

전치행렬 (Transpose Matrix)

1️⃣ 전치행렬(Transpose)의 정의

주어진 행렬 ( A ) 의 전치행렬(Transpose Matrix) 은 ( A^T ) 로 표기하며,
행과 열을 서로 바꾼 행렬을 의미한다.

즉,

(A^T)_{ij} = A_{ji}

모든 행과 열이 교환된 형태가 된다.

전치의 전치는 자기 자신이다

(A^T)^T = A

즉, 한 번 전치한 행렬을 다시 전치하면 원래 행렬이 된다.

2️⃣ 전치 연산에 대한 법칙

전치 연산은 다음과 같은 성질을 가진다.

1️⃣ 덧셈에 대한 전치

(A + B)^T = A^T + B^T

2️⃣ 스칼라배에 대한 전치

(cA)^T = cA^T

(스칼라 ( c ) 는 전치 연산과 관계없이 그대로 유지됨)

3️⃣ 곱셈에 대한 전치 (가장 중요한 법칙!)

(AB)^T = B^T A^T

즉, 곱의 전치는 순서를 뒤집어서 전치한다!
이것은 역행렬과도 비슷한 성질을 가진다.

(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

대칭행렬(Symmetric Matrix)

1️⃣ 대칭행렬의 정의

행렬 ( A ) 가 다음 조건을 만족하면 대칭행렬(Symmetric Matrix) 이라고 한다.

A^T = A

즉, 전치 행렬이 자기 자신과 같은 경우, 해당 행렬은 대칭 행렬이다.
이 경우, 주대각선을 기준으로 마주보는 원소들이 동일하다.

예제

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}

위 행렬에서 전치를 해도 동일한 행렬이므로 대칭행렬이다. 🚀

반대칭 행렬(Skew-Symmetric Matrix)

1️⃣ 반대칭 행렬의 정의

행렬 ( A ) 가 다음 조건을 만족하면 반대칭 행렬(Skew-Symmetric Matrix) 이라고 한다.

A^T = -A

즉, 전치 행렬을 취했을 때 모든 원소의 부호가 바뀌는 경우, 해당 행렬은 반대칭 행렬이다.
이 경우, 주대각선이 반드시 0이어야 하며, 마주보는 원소들이 서로 부호가 반대다.

예제

A = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}

위 행렬에서 전치를 하면 부호가 반대가 되므로 반대칭 행렬이다. 🚀

삼각행렬 (Triangular Matrix)

1️⃣ 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)

아래쪽이 모두 0이면 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix) 이다.

예제

U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}

2️⃣ 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)

위쪽이 모두 0이면 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix) 이다.

예제

L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}

3️⃣ 대각행렬(Diagonal Matrix)

상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 경우, 즉 주대각선 상의 원소를 제외한 나머지가 모두 0인 경우 대각행렬(Diagonal Matrix) 이라고 한다.

예제

D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}

즉, 대각선 원소만 0이 아닌 값을 가지며, 나머지는 모두 0이다.

항등행렬 (Identity Matrix)

항등행렬(Identity Matrix) ( I ) 은 대각행렬의 특수한 형태로, 주대각선 원소가 모두 1이고, 나머지는 0인 행렬이다.

예제

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

항등행렬은 모든 정사각행렬과 곱했을 때 원래 행렬을 그대로 유지한다.

AI = IA = A

즉, 항등행렬은 행렬 곱셈의 항등원 역할을 한다.

6️⃣ 핵심 요약

✅ 전치 연산의 중요한 성질

( $(A^T)^T = A$ ) (전치를 두 번 하면 원래 행렬이 됨)
( $(A + B)^T = A^T + B^T$ )
( $(cA)^T = cA^T$ )
( $(AB)^T = B^T A^T$ ) (순서가 바뀜)

✅ 특수한 행렬의 전치 관계

대칭행렬(Symmetric Matrix): ( $A^T = A$ )
반대칭행렬(Skew-Symmetric Matrix): ( $A^T = -A$ )

✅ 특수한 행렬

상삼각행렬(Upper Triangular Matrix): 아래가 모두 0
하삼각행렬(Lower Triangular Matrix): 위가 모두 0
대각행렬(Diagonal Matrix): 주대각선 외에는 모두 0
항등행렬(Identity Matrix): 주대각선이 1, 나머지가 0

Jacob Kwon

전기전자학생

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