선형 독립(Linear Independence)과 선형 종속(Linear Dependence)

1️⃣ 선형 독립(Linear Independence)의 정의

주어진 ( n ) 개의 벡터 ( $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n$ ) 가 선형 독립(Linearly Independent) 이려면,
이들의 스칼라배(일차 선형결합)가 0이 되는 유일한 방법이 다음과 같아야 한다.

이때, ( $c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$ ) 만 성립하면,
즉, 모든 계수가 0일 때만 성립하면, 벡터들은 선형 독립이다. 🚀

즉, 벡터들이 서로 독립적이면, 그들의 선형 결합이 0이 되는 유일한 방법은 모든 계수가 0이 되는 경우뿐이다.

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2️⃣ 선형 종속(Linear Dependence)의 정의

( $n$ ) 개의 벡터 ( $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n$ ) 가 선형 종속(Linearly Dependent) 이라면,
다음과 같은 0이 아닌 계수를 가지는 해가 존재한다.

여기서 적어도 하나 이상의 ( $c_i \neq 0$ ) 인 경우, 벡터들은 선형 종속이다. 🔥

즉, 어떤 벡터가 나머지 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있다면, 그 벡터들은 선형 종속이다.

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3️⃣ 예제

(1) 선형 종속 예제

다음 벡터들이 주어졌을 때,

다음과 같은 선형 결합이 성립한다.

여기서 ( $c_1 = -2$ ), ( $c_2 = 0$ ), ( $c_3 = 1$ ) 이므로,
( $c_1, c_2, c_3$ ) 중 적어도 하나가 0이 아니므로 선형 종속이다. 🚨

즉, 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있다면, 해당 벡터들은 선형 종속이다.

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4️⃣ 선형 종속의 의미

만약 ( $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n$ ) 이 선형 종속이라면,
어떤 벡터 ( $\mathbf{a}_n$ ) 을 나머지 ( $n-1$ ) 개 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

즉,

이 성립한다.
즉, 어떤 벡터가 나머지 벡터들의 조합으로 표현될 수 있다면, 벡터들은 선형 종속이다. 🔥

반대로, 선형 독립이라면 0으로 나누는 것이 불가능하므로, 일차 결합으로 표현할 수 없다.

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5️⃣ 핵심 요약

✅ 선형 독립(Linearly Independent)

• 모든 계수가 0일 때만 선형 결합이 0이 되는 경우
• 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없음
• 기하학적으로, 서로 다른 방향을 가짐

✅ 선형 종속(Linearly Dependent)

• 적어도 하나 이상의 0이 아닌 계수로 선형 결합이 0이 되는 경우
• 어떤 벡터가 나머지 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있음
• 기하학적으로, 같은 방향이거나 중복된 벡터 포함