# **벡터 공간, 차원, 기저 정리 및 예제 풀이

Jacob Kwon·2025년 2월 5일

선형대수학

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1️⃣ 벡터 공간(Vector Space)

벡터 공간은 벡터들의 집합으로, 두 가지 연산이 가능해야 한다.
1. 벡터 덧셈(Vector Addition)
2. 스칼라 곱(Scalar Multiplication)

즉, 임의의 두 벡터를 더하거나 스칼라 배를 해도 같은 공간에 속하는 벡터가 나오는 집합이 벡터 공간이다.

예제 1: 주어진 벡터들의 벡터 공간 찾기

주어진 벡터들이 속하는 벡터 공간을 찾자.

v1=[1−2],v2=[35]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}

✅ 풀이:
이 벡터들은 모두 두 개의 성분을 가지므로 2차원 벡터 공간인 $ \mathbb{R}^2 $ 에 속한다.

✅ 정답:

R2\mathbb{R}^2

2️⃣ 벡터 공간의 차원(Dimension)

벡터 공간의 차원이란 그 공간을 생성하는 최소한의 독립적인 벡터들의 개수를 의미한다.
즉, 그 공간을 표현하기 위해 필요한 독립적인 벡터들의 개수이다.

예제 2: 주어진 벡터들의 차원 구하기

주어진 벡터 집합의 차원을 구하시오.

S={[100],[010],[210]}S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}

✅ 풀이:
이 벡터들이 선형 독립인지 확인하려면 행렬을 구성한 후 RREF(기약 행 사다리꼴)로 변환해야 한다.

행렬을 만들면:

A=[102011000]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

RREF를 구하면:

[102011000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
  • Pivot Column이 2개이므로, 이 벡터 집합의 차원은 2이다.
  • 즉, 이 벡터들은 2차원 공간을 형성하며 선형 종속이다.

✅ 정답:

차원=2\text{차원} = 2

3️⃣ 기저(Basis)

기저(Basis)는 벡터 공간을 생성하는 최소한의 독립적인 벡터 집합이다.
즉, 벡터 공간의 모든 벡터는 기저 벡터들의 선형 결합(Linear Combination) 으로 표현될 수 있다.

예제 3: 주어진 벡터들이 $ \mathbb{R}^3 $ 의 기저를 이루는지 판별하시오.

v1=[102],v2=[013],v3=[210]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

✅ 풀이:
이 벡터들이 기저가 되려면 선형 독립이어야 한다.
즉, 다음 행렬의 RREF를 구해보자.

A=[102013210]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}

  1. 첫 번째 열을 기준으로 행 연산 수행:

    [10201301−4]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}

  2. 두 번째 행과 세 번째 행을 정리:

    [10201300−7]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -7 \end{bmatrix}

✅ 결과:

  • Pivot Column이 3개이므로, 이 벡터들은 선형 독립이다.
  • 따라서 기저를 이룬다.

✅ 정답:
이 벡터들은 $ \mathbb{R}^3 $ 의 기저를 형성한다.

4️⃣ 벡터 공간, 기저, 차원의 관계

  1. 기저(Basis)는 벡터 공간을 생성하는 최소 독립적인 벡터 집합이다.
  2. 차원(Dimension)은 기저 벡터의 개수와 같다.
  3. 기저 벡터를 사용하면 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있다.

5️⃣ 핵심 정리

✅ 벡터 공간(Vector Space): 벡터들의 집합으로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱이 정의됨
✅ 차원(Dimension): 벡터 공간을 생성하는 최소한의 독립적인 벡터 개수
✅ 기저(Basis): 벡터 공간을 생성하는 선형 독립적인 벡터 집합
✅ 차원 = 기저 벡터의 개수

역행렬이 존재할 필요충분조건: Rank와의 관계

1️⃣ 역행렬(Inverse Matrix)이란?

정방행렬 ( A ) 에 대해 역행렬 ( A^{-1} ) 가 존재한다면, 다음 조건을 만족해야 한다.

AA−1=A−1A=InA A^{-1} = A^{-1} A = I_n

여기서 ( I_n ) 은 ( n \times n ) 크기의 항등행렬(Identity Matrix)이다.

즉, 행렬 ( A ) 에 대해 역행렬이 존재하려면 ( A ) 가 가역(Invertible)해야 한다.
이를 결정하는 가장 중요한 조건이 Rank(A) = n 이다.

2️⃣ 역행렬이 존재할 필요충분조건

행렬 ( A ) 가 ( n \times n ) 정방행렬(square matrix)일 때,
역행렬 ( A^{-1} ) 가 존재할 필요충분조건은 다음과 같다.

✅ 역행렬이 존재할 필요충분조건

Rank(A)=n\text{Rank}(A) = n

즉, ( A ) 의 Rank가 최대값인 ( n ) 이면 ( A ) 는 가역행렬(Invertible Matrix)이다.
반대로, ( \text{Rank}(A) < n ) 이면 ( A ) 는 특이행렬(Singular Matrix)이며 역행렬이 존재하지 않는다.

3️⃣ Rank에 따른 행렬의 성질

조건행렬의 성질역행렬 존재 여부
( \text{Rank}(A) = n )정칙행렬(Nonsingular Matrix)역행렬 존재 (( A^{-1} ) 존재)
( \text{Rank}(A) < n )특이행렬(Singular Matrix)역행렬 없음

즉, 행렬의 Rank가 ( n ) 미만이면 반드시 역행렬이 존재하지 않는다.

4️⃣ 예제: 역행렬이 존재하는 경우

다음 행렬 ( A ) 가 주어졌을 때, 역행렬이 존재하는지 확인하자.

A=[123014001]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 1: Rank 계산
이 행렬을 RREF(기약 행 사다리꼴)로 변환하면,

[123014001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Pivot Column이 3개이므로, Rank(A) = 3
✅ ( \text{Rank}(A) = 3 = n ), 따라서 ( A ) 는 가역(Invertible)이다.
✅ 역행렬 ( A^{-1} ) 이 존재한다.

5️⃣ 예제: 역행렬이 존재하지 않는 경우

다음 행렬 ( B ) 가 주어졌을 때, 역행렬이 존재하는지 확인하자.

B=[123246014]B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}

Step 1: Rank 계산
행 연산을 통해 두 번째 행에서 첫 번째 행의 2배를 빼면,

[123000014]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}

Pivot Column이 2개이므로, Rank(B) = 2
❌ ( \text{Rank}(B) < 3 ), 따라서 ( B ) 는 특이행렬(Singular)이다.
❌ 역행렬 ( B^{-1} ) 은 존재하지 않는다.

6️⃣ 최종 정리

✅ 역행렬이 존재할 필요충분조건
$$ \text{Rank}(A) = n $$

✅ Rank가 최대값이면 가역행렬(Invertible Matrix)
✅ Rank가 낮으면 특이행렬(Singular Matrix), 즉 역행렬이 존재하지 않음
✅ RREF를 통해 Rank를 구하면 역행렬 존재 여부를 빠르게 판별 가능

행렬의 역행렬과 성질 정리

1️⃣ ( 2 \times 2 ) 행렬의 역행렬

( A ) 가 다음과 같은 ( 2 \times 2 ) 행렬일 때,

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

역행렬 ( A^{-1} ) 은 다음과 같이 계산된다.

A−1=1ad−bc[d−b−ca],단 ad−bc≠0A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{단 } ad - bc \neq 0

이때, ( ad - bc ) 는 행렬식(Determinant) 이다.
( ad - bc = 0 ) 이면 ( A ) 는 특이행렬(Singular Matrix) 이며, 역행렬이 존재하지 않는다.

2️⃣ 모든 ( n \times n ) 행렬에서 가우스-조던 소거법 적용

임의의 ( n \times n ) 행렬에서도 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination) 을 사용하여 역행렬을 구할 수 있다.

방법

  1. 확대행렬(Augmented Matrix) 설정
    [
    (A | I)
    ]
    여기서 ( I ) 는 동일한 크기의 항등행렬이다.
  2. 기본행 연산을 통해 (A | I) → (I | A^{-1}) 로 변환
  3. 오른쪽 부분이 ( A^{-1} ) 이므로 결과를 확인

예제

주어진 행렬 ( A ),

A=[2134]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

이를 확대행렬로 설정:

(21103401)\left( \begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right)

가우스-조던 소거법을 적용하면,

(104/5−1/501−3/52/5)\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & -3/5 & 2/5 \end{array} \right)

즉,

A−1=[4/5−1/5−3/52/5]A^{-1} = \begin{bmatrix} 4/5 & -1/5 \\ -3/5 & 2/5 \end{bmatrix}

3️⃣ 행렬의 곱의 역행렬

행렬의 곱에 대한 역행렬은 전치 행렬과 비슷한 성질을 가진다.

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

즉, 행렬의 곱의 역행렬은 개별 행렬의 역행렬을 순서를 반대로 곱한 것과 같다.

4️⃣ 행렬 연산의 특이한 성질

✅ 행렬의 곱에서는 교환법칙이 성립하지 않는다.
즉, 일반적으로 다음이 성립하지 않는다.

AB≠BAAB \neq BA

✅ 행렬 곱이 0이더라도 한 행렬이 0행렬이라는 보장은 없다.
즉,

AB=0AB = 0

이라고 해서 반드시 ( A = 0 ) 또는 ( B = 0 ) 이 성립하는 것은 아니다.

✅ 행렬 곱이 같아도 개별 행렬이 같은 것은 아니다.
즉,

AC=ADAC = AD

이라고 해서 반드시 ( C = D ) 가 성립하는 것은 아니다.

5️⃣ 예제: ( AB = 0 ) 이지만 ( A \neq 0, B \neq 0 ) 인 경우

다음 행렬 ( A, B ) 를 고려하자.

A=[0100],B=[1000]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

이때,

AB=[0100][1000]=[0000]AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

즉, ( AB = 0 ) 이지만, ( A \neq 0 ) 이고 ( B \neq 0 ) 이다.

6️⃣ 특정 조건에서만 ( AC = AD \Rightarrow C = D ) 가 성립

행렬 ( A ) 가 정칙행렬(Invertible Matrix), 즉 Rank(A) = n 이면 다음이 성립한다.

✅ 조건: ( A ) 가 정칙행렬이고, ( AC = AD ) 라면,
[
C = D
]

✅ 조건: ( A ) 가 정칙행렬이고, ( AB = 0 ) 이면,
[
B = 0
]

증명

  1. ( A ) 가 정칙행렬이면, 역행렬 ( A^{-1} ) 가 존재한다.
  2. ( AB = AC ) 라고 하면,
    [
    A^{-1} (AB) = A^{-1} (AC)
    ]
  3. 행렬 곱의 결합법칙에 의해,
    [
    (A^{-1} A) B = (A^{-1} A) C
    ]
  4. 항등행렬 ( I ) 의 성질을 이용하면,
    [
    I B = I C
    ]
  5. 따라서, ( B = C ) 가 성립한다.

즉, Rank(A) = n 인 경우, ( AB = AC ) 이면 반드시 ( B = C ) 가 성립한다.

7️⃣ 행렬식과 곱의 관계

행렬 곱 ( AB ) 에 대해 다음이 성립한다.

det⁡(AB)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)

즉, 행렬의 행렬식은 곱셈에 대해 분배된다.
또한, 일반적으로 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않지만, 행렬식에 대해서는

det⁡(AB)=det⁡(BA)\det(AB) = \det(BA)

가 성립한다.

8️⃣ 기본행렬과 가우스 소거법

✅ 정칙행렬(Invertible Matrix)은 기본행렬(Elementary Matrix)들의 곱으로 표현될 수 있다.
즉, ( A ) 가 정칙행렬이라면,

A=EkEk−1…E2E1A = E_k E_{k-1} \dots E_2 E_1

여기서 ( E_i ) 는 기본행 연산에 해당하는 기본행렬이다.

✅ 역행렬은 기본행렬들의 곱의 역순으로 구할 수 있다.
즉,

A−1=E1−1E2−1…Ek−1−1Ek−1A^{-1} = E_1^{-1} E_2^{-1} \dots E_{k-1}^{-1} E_k^{-1}

이를 가우스-조던 소거법을 이용하여 직접 구할 수도 있다.

✅ 기본행연산을 통해 역행렬 구하기:
[
(A | I) \to (I | A^{-1})
]

즉, 기본행 연산을 적용하여 ( A ) 를 항등행렬로 변환하면, 그 결과는 ( A^{-1} ) 가 된다.

9️⃣ 핵심 요약

  • 역행렬이 존재할 필요충분조건: ( \text{Rank}(A) = n )
  • 행렬 곱의 역행렬: ( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} )
  • 교환법칙 성립하지 않음: ( AB \neq BA )
  • 행렬 곱이 0이어도 한 행렬이 0이 아닐 수 있음
  • Rank(A) = n 이면 ( AB = AC \Rightarrow B = C )
  • 정칙행렬은 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있음

이제 역행렬과 행렬 연산의 성질을 완벽히 이해할 수 있을 것이다!

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Jacob Kwon
전기전자학생
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