[Math] Quiz #2

Linear Algebra

Problem.

다음 벡터들의 내적(dot product) 을 계산하라.

Solution.

1. 벡터 내적 공식 두 벡터의 내적은 다음 공식으로 정의된다.
   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
2. 값 대입 및 계산
   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot 4) = 3 + 8 = 11$
3. 결론
   따라서, 벡터의 내적 값은 11 이다.

Numerical Optimization

Problem.

다음 함수 $f(x) = 2x + 2$ 값을 찾아라.

Solution.

1. 함수의 미분
   최적화를 위해, 먼저 도함수를 계산한다.

   $f'(x) = 2x + 2$

2. 극값(최소값) 구하기
   극값을 찾기 위해 $f'(x) = 0$을 푼다.

   $2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$

3. 최소값 확인
   이제 $x=-1$에서의 함수값을 계산한다.

   $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

   2차 도함수를 계산해 보면:

   $f''(x) > 0$

   이므로,$x=-1$에서 최소값을 갖는다.

   Convex
   2차 도함수 $f''(x)>0$ : 최소값 (아래로 볼록, Convex, Concave up)
   2차 도함수 $f''(x)<0$ : 최대값 (위로 볼록, Concave, Concave down)

4. 결론
   최소값을 갖는 $x$ 값은 -1, 최소 함수값은 0이다.