[Math] Quiz

Linear Algebra

Problem.

행렬 $A$가 주어졌을 때, 역행렬 $A^{-1}$를 구하라.

Solution.

1. 역행렬 공식
   2x2 행렬의 역행렬은 다음 공식으로 계산한다.
   $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

여기서, $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
행렬식 $\det(A)$는 다음과 같이 계산된다.

2. 행렬식(Determinant) 계산

   $\det(A) = (2 \times 4) - (3 \times 1) = 8 - 3 = 5$

   $\det(A) \neq 0$이므로, 역행렬이 존재한다.

3. 역행렬 계산

   $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

4. 결론

   $A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$

$\det(A)$

• 행렬식(Determinant)는 정사각 행렬 𝐴에 대해 계산되는 하나의 숫자(스칼라)
• 행렬이 공간을 얼마나 변형시키는지를 나타내며, 역행렬 존재 여부 및 벡터의 독립성을 확인하는 중요한 값

Numerical Optimization

Problem.

다음 함수의 최소값을 구하고, 최소값을 갖는 $𝑥$ 값을 찾아라.

Solution.

1. 함수의 미분

   $f'(x) = e^x - e^{-x}$

2. 극값(최소값) 구하기

극값을 찾기 위해 $f'(x)=0$을 푼다.

이를 정리하면:

양변에 자연로그를 취하면:

3. 최소값인지 확인(2차 도함수 검사)

2차 도함수를 계산하면:

$f''(0)$을 계산하면:

따라서, $ 𝑥 = 0 $은 최소값을 갖는 지점이다.

4. 최소 함수값 계산

   $f''(0) = e^0 + e^{0} = 1 + 1 = 2$

5. 결론

• 최소값을 갖는 x값: $x=0$
• 최소 함수값:$f(0)=2$