[Math] Quiz

Linear Algebra

Problem.

다음 두 벡터의 외적(Cross Product) 을 계산하라.

Solution.

1. 외적(Cross Product) 공식

   $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

2. 값 대입 및 계산
   각 항을 계산하면:

   $\mathbb{a}\times \mathbb{b} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) \\ (3 \cdot 4 - 1 \cdot 6) \\ (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} (12 - 15) \\ (12 - 6) \\ (5 - 8) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$

3. 결론
   외적 결과는:

   $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$

외적(Cross Product)

• 3차원 벡터 두 개가 주어졌을 때, 새로운 벡터를 만드는 연산
• 결과는 원래 두 벡터와 모두 수직(직교)하는 벡터

• 외적의 특징
  • 3차원에서만 정의됨 (2차원에서는 없음)
  • 결과는 스칼라(숫자)가 아니라 벡터
  • 외적 벡터는 두 벡터에 모두 직교(90도)
  • 크기는 평행사변형의 면적과 같음
• 외적공식 :
  $\mathbb{a \times b} = \begin {bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

Numerical Optimization

Problem.

다음 함수의 최소값을 구하고, 최소값을 갖는 $𝑥$ 값을 찾아라.

Solution.

1. 함수의 미분
   최적화를 위해, 1차 도함수를 계산한다.

   $f'(x) = 4x^3 - 8x$

2. 극값(최소값) 구하기
   극값을 찾기 위해 $f'(x)=0$을 푼다.

   $4x^3 - 8x =0$

공통인자를 무어서 정리하면:

이 방정식의 해는:

3. 최소값인지 학인(2차 도함수 검사)
   2차 도함수를 계산하면:
   $f''(x) = 12x^2 - 8$
   각 극값에서 $f''x)를 평가해 보자.

• $x=0$ 일 때:

  $f''(0) = -8 < 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{는 최대값(concane)}$

• $x= \pm \sqrt{2}$

  $f''(\sqrt{2}) = 16 > 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{2} \text{는 최소값(convex)}$

4. 최소 함수값 계산

   $f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 4 = 0$

5. 결론

   $\text{따라서, 최소값을 갖는 } x \text{ 값은 } \pm\sqrt{2}, \text{ 최소 함수값은 } 0.$