확률 통계

우리가 흔히 아는 "평균"은 사실 산술평균(Arithmetic Mean)이다.
그런데 상황에 따라 “곱셈 구조”나 “비율 구조”가 중요할 때 쓰이는 것이
그래서 기하평균(Geometric Mean), 조화평균(Harmonic Mean)도 함께 정의한다.

1. 산술평균 (Arithmetic Mean, AM)

• 우리가 가장 흔히 쓰는 평균.
• 값들을 모두 더한 뒤 개수로 나눈 값.
• 예: $(2, 4, 6)$의 산술평균 = $(2+4+6)/3 = 4$

2. 기하평균 (Geometric Mean, GM)

• 값들의 곱을 취해서 $n$제곱근을 씌움.
• 모든 값이 양수일 때만 정의 가능.
• 확률값이나 성장률(%) 같은 곱셈 구조에서 자주 사용.
• 예: $(2, 4, 6)$의 기하평균 = $(2 \cdot 4 \cdot 6)^{1/3} = (48)^{1/3} \approx 3.634$

3. 조화평균 (Harmonic Mean, HM)

• 역수를 취해서 평균낸 뒤 다시 뒤집은 값.
• "속도, 비율" 같이 분모에 놓이는 값들의 평균으로 자주 사용.
• 예: $(2, 4, 6)$의 조화평균 = $\frac{3}{(1/2 + 1/4 + 1/6)} = \frac{3}{0.5 + 0.25 + 0.1667} \approx 3.273$

관계 (양수일 때 항상 성립)

중등/고등학교 수학에서는 산술–기하평균 부등식 (AM ≥ GM ≥ HM) 이 기본적으로 등장한다.
(특히 수열, 부등식 단원에서 자주 나와요.)
대학 수학에서는 해석학, 선형대수, 확률론, 통계학 등 다양한 분야에서 자주 사용한다.

즉, 조화평균 ≤ 기하평균 ≤ 산술평균 이고,
모두 같은 값일 때는 $x_1 = x_2 = \dots = x_n$일 때 뿐이다.

활용

• 산술평균 (AM): 일반적인 “평균값” → 시험 점수 평균, 키 평균 등
• 기하평균 (GM): 곱셈 구조 → 성장률, 확률, 복리 이자, Perplexity 같은 언어모델 평가
• 조화평균 (HM): 속도/비율 → 평균 속도 계산, F1-score (정밀도·재현율의 조화평균)