곱셈 구조 / 비율 구조

"곱셈 구조"와 "비율 구조"는 기하평균과 조화평균이 각각 등장하는 상황에서 중요한 개념

1. 곱셈 구조란? → 기하평균이 어울림

정의:

• 데이터들이 곱해지는 방식으로 누적되는 상황
• 또는 비율(%)이 연속적으로 적용되는 경우

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예시:

연평균 성장률 (Compound Annual Growth Rate, CAGR)

예: 한 회사의 연도별 매출 증가율이 다음과 같다:

• 1년차: +10% → 1.10
• 2년차: +20% → 1.20
• 3년차: -10% → 0.90

전체 누적 성장률 = $1.10 \cdot 1.20 \cdot 0.90 = 1.188$

→ 평균 성장률은?

즉, 약 5.9%씩 매년 성장한 셈

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NLP에서의 확률 구조

• 확률도 0~1 사이의 곱셈 구조로 누적된다:

  $P(w_1,\dots,w_N) = P(w_1) \cdot P(w_2|w_1) \cdot \dots$

  → 그래서 기하평균을 쓰는 게 자연스러움

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2. 비율 구조란? → 조화평균이 어울림

정의:

• 데이터가 비율의 역수 구조로 되어 있을 때
• 특히 "분모에 비율이 있는 식"에서 주로 등장

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대표 예시:

평균 속도 계산

어떤 사람이:

• 60km/h로 1시간 이동
• 20km/h로 1시간 이동

산술평균 → $(60 + 20)/2 = 40$km/h ❌
하지만 거리 기준으로 평균 속도를 계산하면:

→ 조화평균이 정답!
이유는 속도가 거리 ÷ 시간이고, 시간 기준으로 역수 합이 생기기 때문이다.

F1-score (NLP/ML에서 많이 쓰임)

• Precision (정밀도), Recall (재현율)이 있을 때:

→ 즉, 조화평균

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차이점

구조	특징	어울리는 평균	예시
덧셈 구조	단순 누적	산술평균	시험 점수 평균
곱셈 구조	비율이 곱해짐	기하평균	복리이자, 확률, 성장률
비율 구조 (역수)	분모가 중요함	조화평균	평균 속도, F1-score