분포수렴 (Convergence in Distribution)

1. 분포수렴의 정의

$F_{n}$ : $\mathrm{cdf \; of \;} X_{n}$
$F$ : $\mathrm{cdf \; of \;} X$
$C(F) = \{x \in \R : F\; \mathrm{is\; continious \; at} \; S_{X}\}$ 이라고 하자.

다음을 만족할때, 확률변수 $X_{n}$이 $X$로 분포수렴한다고 한다.

$\forall x \in C(F), \; \lim_{n \to \infin}F_{n}(x) = F(x)$

기호로는 다음와 같이 표현한다.

$X_{n} \overset{d}{\to} X$

2. 적률생성함수와 분포수렴

$M_{n}$ : $\mathrm{mgf \; of \;} X_{n}$
$M$ : $\mathrm{mgf \; of \;} X$

$X_{n} \overset{d}{\to} X \iff \exists \eta > 0, \quad\forall t \in (-\eta, \eta), \quad \lim_{n \to \infin} M_{n}(t) = M(t)$

Reference

Hogg et al. (2021). Introduction to Mathematical Statistcs(8th Edition)