Linear systems

Jeongsu Ahn·2025년 7월 20일

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Reference: Prof Steve Brunton, Control Bootcamp
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Linear Systems (선형 시스템)

제어 입력이 없는 선형 시스템을 고려하자:

\dot{x} = Ax

\text{where } A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad x \in \mathbb{R}^n

이 미분방정식의 일반해는 다음과 같이 표현된다:

x(t) = e^{At}x(0)

여기서 행렬 지수함수 $e^{At}$ 는 Taylor 급수로 전개할 수 있다:

e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \cdots

Eigenvalues & Eigenvectors (고유값과 고유벡터)

시스템 행렬 $A$ 의 고유값과 고유벡터는 다음 관계를 만족한다:

A\xi=\lambda\xi

고유벡터들을 열벡터로 하는 변환행렬 $T$ 와 고유값들의 대각행렬 $D$ 를 정의하면:

T = [\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n]

D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}

이들 사이의 관계는:

\underset{n \times n}{A} \underset{n \times n}{T} = \underset{n \times n}{T} \underset{n \times n}{D}

여기서:

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ : 원래 시스템 행렬
$\xi_i \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ : $i$ 번째 고유벡터
$T \in \mathbb{R}^{n \times n}$ : 고유벡터들로 구성된 변환행렬
$D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ : 고유값들의 대각행렬
$\lambda_i$ : $i$ 번째 고유값

좌표 변환을 통한 시스템 분리

새로운 좌표 $z = T^{-1}x$ 를 도입하면:

\dot{x} = T\dot{z} = Ax = ATz

양변에 $T^{-1}$ 을 곱하면:

\dot{z} = T^{-1}ATz

앞서 유도한 관계식 $AT = TD$ 에서 $T^{-1}AT = D$ 이므로:

\dot{z} = Dz

이는 각 상태 변수가 독립적으로 분리된 시스템을 의미한다:

\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix}

핵심: 고유값 분해를 통해 복잡한 다변수 시스템을 독립적인 1차 시스템들의 조합으로 분석할 수 있다.

분리된 시스템의 해는:

z(t) = e^{Dt}z(0) = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} z(0)

Proof (증명)

앞서 유도한 관계식들을 이용하여 해의 형태를 증명해보자.

고유값 분해로부터:

AT=TD \quad \Rightarrow \quad A = TDT^{-1}

행렬 지수함수에 대입하면:

e^{At} = e^{TDT^{-1}t}

Taylor 급수에 적용하면:

e^{TDT^{-1}t} = I + TDT^{-1}t + \frac{(TDT^{-1})^2t^2}{2!} + \frac{(TDT^{-1})^3t^3}{3!} + \cdots

행렬의 거듭제곱을 계산해보자. $TT^{-1} = I$ 이므로:

(TDT^{-1})^2 = TDT^{-1}TDT^{-1} = TD^2T^{-1}

(TDT^{-1})^3 = TD^3T^{-1}

일반적으로 $(TDT^{-1})^n = TD^nT^{-1}$ 이므로:

e^{TDT^{-1}t} = T\left[I + Dt + \frac{D^2t^2}{2!}+ \frac{D^3t^3}{3!} + \cdots\right]T^{-1}

대괄호 안은 $e^{Dt}$ 이므로:

e^{At} = Te^{Dt}T^{-1}

따라서 원래 시스템의 해는:

x(t) = e^{At}x(0) = Te^{Dt}T^{-1}x(0)

좌표 변환 관계 $x = Tz$ , $z(0) = T^{-1}x(0)$ 를 이용하면:

x(t) = \underbrace{T\underbrace{ e^{Dt} \underbrace{T^{-1}x(0)}_{z(0)}}_{z(t)}}_{x(t)}

Numerical Example (수치 예제)

시스템 정의

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad x(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

고유값 분해

MATLAB에서 [T, D] = eig(A)를 실행하면:

D = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad T = \begin{bmatrix} 0.7071 & -0.4472 \\ -0.7071 & 0.8944 \end{bmatrix}

안정성 분석: 모든 고유값이 음수이므로 시스템은 안정하다. 즉, 시간이 흐르면서 상태가 0으로 수렴한다.

해의 검증

다음 세 가지 방법으로 동일한 결과를 얻을 수 있다:

직접 계산: $x(t) = e^{At}x(0)$
고유값 분해: $x(t) = Te^{Dt}T^{-1}x(0)$
수치 적분: ode45(@(t,x) A*x, [0,10], x0)

MATLAB 코드

% Linear System Solution: x_dot = Ax
clear; clc;

% Define system matrix A
A = [0 1; -2 -3];  % Example 2x2 system matrix
x0 = [1; 0];       % Initial condition
t = linspace(0, 10, 100);  % Time vector

% Method 1: Using eigenvalue decomposition
[T, D] = eig(A);
x_analytical = zeros(2, length(t));
for i = 1:length(t)
    x_analytical(:, i) = T * expm(D * t(i)) * inv(T) * x0;
end

% Method 2: Using matrix exponential directly
x_direct = zeros(2, length(t));
for i = 1:length(t)
    x_direct(:, i) = expm(A * t(i)) * x0;
end

% Method 3: Numerical integration for verification
[t_ode, x_ode] = ode45(@(t, x) A*x, [0, 10], x0);

% Plot results
figure;
plot(t, x_analytical(1,:), 'r-', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(t, x_analytical(2,:), 'b-', 'LineWidth', 2);
plot(t_ode, x_ode(:,1), 'ro', 'MarkerSize', 4);
plot(t_ode, x_ode(:,2), 'bo', 'MarkerSize', 4);
xlabel('Time (s)'); ylabel('State'); 
legend('x_1 (analytical)', 'x_2 (analytical)', ...
       'x_1 (numerical)', 'x_2 (numerical)');
title('Linear System Response');
grid on;