Stability and Eigenvalues

Jeongsu Ahn·2025년 7월 21일

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Reference: Prof Steve Brunton, Control Bootcamp
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다음과 같은 선형 시스템을 가정하자.

\dot{x} = Ax

[T, D] = eig(A)

T = [\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n]

D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}

안정성이란 시간이 무한대로 흐를 때 시스템이 수렴하는지 발산하는지를 판별하는 지표이다. 이전 포스트에서 시스템의 해가 고유값으로 다음과 같이 표현됨을 증명했다:

x(t) = Te^{Dt}T^{-1}x(0)

시스템의 안정성을 분석하기 위해 임의의 고유값 $\lambda = a + ib$ 에 대해 Euler's formula를 적용해보자:

e^{\lambda t} = e^{(a+ib)t} = e^{at}[\cos(bt) + i \sin(bt)]

이제 실수부 $a$ 의 값에 따라 세 가지 경우로 나누어 분석할 수 있다:

Case 1: $a > 0$ (실수부가 양수)

e^{at} \to \infty \quad \text{as} \quad t \to \infty

|\cos(bt)|, |\sin(bt)| \leq 1

\therefore |e^{\lambda t}| = e^{at} \to \infty

\Rightarrow \text{Unstable (불안정)}

Case 2: $a < 0$ (실수부가 음수)

e^{at} \to 0 \quad \text{as} \quad t \to \infty

|\cos(bt)|, |\sin(bt)| \leq 1

\therefore |e^{\lambda t}| = e^{at} \to 0

\Rightarrow \text{Stable (안정)}

Case 3: $a = 0$ (실수부가 0)

e^{at} = 1

e^{\lambda t} = \cos(bt) + i\sin(bt)

\therefore |e^{\lambda t}| = 1

\Rightarrow \text{Marginally Stable (임계안정)}

결론: 연속시간 시스템이 안정하려면 모든 고유값의 실수부가 음수여야 한다.

이산시간에서의 선형 시스템을 다음과 같이 가정하자:

x_{k+1} = \tilde{A}x_{k}, \quad x_k = x(k\Delta t)

여기서 $\tilde{A}$ 는 연속시간 행렬 $A$ 와 다음 관계를 갖는다:

\tilde{A} = e^{A\Delta t}

각 시간 스텝에서의 상태는 다음과 같이 표현된다:

x_1 = \tilde{A}x_0, \quad x_2 = \tilde{A}^2x_0, \quad \ldots, \quad x_k = \tilde{A}^kx_0

$\tilde{A}$ 의 고유값을 $\lambda$ 라 하면, $k$ 스텝 후의 응답은 $\lambda^k$ 에 비례한다. 고유값을 극좌표로 표현하면:

\lambda = Re^{i\theta}

\lambda^k = R^ke^{ik\theta}

시간이 지날수록 시스템이 수렴하려면:

|\lambda^k| = R^k \to 0 \quad \text{as} \quad k \to \infty

이는 $R < 1$ , 즉 $|\lambda| < 1$ 일 때 성립한다.

결론: 이산시간 시스템이 안정하려면 모든 고유값의 크기가 1보다 작아야 한다.

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