중심 극한 정리

Central Limit Theorem

• 중심 극한 정리를 알기 전에, 표본분포에 관련된 내용을 알아야 합니다.

1. 표본 분포

• 모집단에서 일정한 크기로 뽑을 수 있는 표본을 모두 뽑았을 때, 그 모든 표본의 통계량의 확률 분포

2. 표본평균

• $X_1,..., X_n$이 모평균(샘플 전체의 평균) $\mu$, 모표준편차 (샘플 전체의 표준편차) $\sigma$인 모집단으로부터의 확률표본일 때 (즉 모집단에서 뽑은 표본의 개수가 n일 때),

  표본평균: $\bar{X}= \frac{\sum_{i=1} ^n{X_i}}{n}$

3. 표본평균의 평균

   표본평균의 평균: $E(\bar{X}) = E(\frac{\sum_{i=1} ^n{X_i}}{n}) = \frac{1}{n}[E(X_1)+ ... + E(X_n) ]) = \frac{1}{n}n \mu = \mu$

4. 표본평균의 분산

   표본평균의 분산 : $Var(\bar{X})= \frac{\sigma^2}{n}$

중심 극한 정리

• 평균이 $\mu$, 표준편차가 $\sigma$인 임의의 모집단으로부터 크기 n인 표본에서의 표본평균은 n이 클 때 근사적으로 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\frac{\sigma^2}{n}$인 정규분포를 따른다.
• 모집단이 정규분포라면 표본평균은 표본의 개수와 상관없이 항상 정규분포를 따른다.