하노이 탑 이동 순서 (Silver I)

문제 링크

문제 설명

세 개의 장대가 있고 첫 번째 장대에는 반경이 서로 다른 n개의 원판이 쌓여 있다. 각 원판은 반경이 큰 순서대로 쌓여있다. 이제 수도승들이 다음 규칙에 따라 첫 번째 장대에서 세 번째 장대로 옮기려 한다.

한 번에 한 개의 원판만을 다른 탑으로 옮길 수 있다.
쌓아 놓은 원판은 항상 위의 것이 아래의 것보다 작아야 한다.
이 작업을 수행하는데 필요한 이동 순서를 출력하는 프로그램을 작성하라. 단, 이동 횟수는 최소가 되어야 한다.

아래 그림은 원판이 5개인 경우의 예시이다.

입력

첫째 줄에 첫 번째 장대에 쌓인 원판의 개수 N (1 ≤ N ≤ 20)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 옮긴 횟수 K를 출력한다.

두 번째 줄부터 수행 과정을 출력한다. 두 번째 줄부터 K개의 줄에 걸쳐 두 정수 A B를 빈칸을 사이에 두고 출력하는데, 이는 A번째 탑의 가장 위에 있는 원판을 B번째 탑의 가장 위로 옮긴다는 뜻이다.

문제 풀이

• 어렸을때 하노이 탑 가지고 많이 놀았었는데, 점화식을 구해야할 줄이야,,,

• 하노이탑 옮긴 횟수 구하기

  • 1번 기둥에서 3번 기둥으로 N개를 옮기려면 2번 기둥에 N-1번까지의 기둥을 옮겨놓고 3번기둥에 N을 옮긴다.
  • 그리고 3번 기둥에 N-1개를 다시 옮기면 N-1개를 옮기는 작업이 똑같이 2번 수행되므로
  • $a_{n+1} = 2 \times a_n + 1$
  • $a_{n+1} + 1 = 2 \times (a_n + 1)$
  • $b_n = a_n +1$ 이라 가정 했을 때, $b_{n+1} = 2 \times b_n$
  • 이 때 $b_n$은 첫째항이 $b_1 = a_1 + 1 = 2$ 이고 공비가 2 인 등비수열이다
  • $a_1 = 1$ 이니 $a_n$ 은 초항이 1이고 공비가 2인 등비수열
    => $a_n = 2^n -1$

• 하노이 탑 이동시키기

  • 1번에서 3번으로 이동시키려면 N-1 개를 2에 옮겨두고
  • N 원반을 3에 옮긴다
  • 다시 N-1개의 하노이 탑을 2에서 3으로 옮긴다를 반복
  • N이 1일 때 (작은 탑이 완성될때마다) return;

• 하노이 탑은 재귀문제 기본이라고 한다.. 그래서 나무위키에 아주 친절하게 설명되어 있음

• 나는 몰라서 되게 헤맸지만,,,
  

Solution

import java.util.Scanner;

// 하노이 탑 이동 순서
public class Main {
	public static StringBuilder sb = new StringBuilder();
	
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int N = sc.nextInt();
		
		// 메르센 수 2^n - 1
		sb.append((int) (Math.pow(2, N) -1)).append('\n');
		Hanoi(N, 1,2,3);
		
		System.out.println(sb);
		
	}
	
	public static void Hanoi(int N, int from, int by, int dest) {
		// 작은 탑이 완성 되면 return
		if(N==1) {
			sb.append(from).append(" ").append(dest).append('\n');
			return;
		}
		
		// 1 에서 3으로 옮겨야 할 때
		// N-1개를 2에 옮긴다
		Hanoi(N-1, from, dest, by);
		// N원반을 1에서 3으로 옮긴다
		sb.append(from).append(" ").append(dest).append('\n');
		// 다시 N-1개를 2에서 3으로 옮긴다
		Hanoi(N-1, by, from, dest);
	}
}