Numpy

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행렬이나 일반적으로 대규모 다차원 배열을 쉽게 처리할 수 있도록 지원하는 파이썬의 라이브러리이다.

numpy 연산

먼저 numpy라이브러리를 import한다.

import numpy as np

1.벡터와 스칼라 연산

• 벡터의 각 원소에 대해 연산을 진행한다.

x = np.array([1,2,3])
c= 5
print(f"더하기:{x}+{c} = {x+c}")
print(f"빼기:{x}-{c} = {x-c}")
print(f"곱하기:{x}*{c} = {x*c}")
print(f"나누기:{x}/{c} = {x/c}")

>>>더하기:[1 2 3]+5 = [6 7 8]
빼기:[1 2 3]-5 = [-4 -3 -2]
곱하기:[1 2 3]*5 = [ 5 10 15]
나누기:[1 2 3]/5 = [0.2 0.4 0.6]

2.벡터와 벡터 연산

• 각 벡터의 같은 인덱스끼리 연산한다.

y = np.array([1,3,5])
z = np.array([2,9,20])

print(f"더하기:{y}+{z} = {y+z}")
print(f"빼기:{y}-{z} = {y-z}")
print(f"곱하기:{y}*{z} = {y*z}")
print(f"나누기:{y}/{z} = {y/z}")

>>>더하기:[1 3 5]+[ 2  9 20] = [ 3 12 25]
빼기:[1 3 5]-[ 2  9 20] = [ -1  -6 -15]
곱하기:[1 3 5]*[ 2  9 20] = [  2  27 100]
나누기:[1 3 5]/[ 2  9 20] = [0.5        0.33333333 0.25      ]

Array Indexing

python의 리스트와 유사하게 진행

W = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]])

print(W[0,0])
print(W[2,3])
>>>1
12

Array Slicing

W[0:2,1:3]
>>>array([[2, 3],
       [6, 7]])

#전체 열 slicing
W[0:2,0:4]
W[:2,:]#둘 다 출력값이 같다
>>>array([[1, 2, 3, 4],
       [5, 6, 7, 8]])

#전체 행 slicing
W[:,2:4]
>>>array([[ 3,  4],
       [ 7,  8],
       [11, 12]])

Array의 Broadcasting

기본적으로 같은 Type의 data에 대해서만 연산이 적용 가능
하지만 만약에 피연산자가 연산 가능하도록 변환이 가능하다면 연산이 가능

#1. M X N, M X 1
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
x = np.array([0,1,0])
x = x[:,None]#x를 전치
print(a+x)
>>>[[1 2 3]
 [5 6 7]
 [7 8 9]]
 
#2. M X N, 1 X N
y = np.array([0,1,-1])
print(a*y)
>>>[[ 0  2 -3]
 [ 0  5 -6]
 [ 0  8 -9]]

# 3. M X 1, 1 X N
t = np.array([1,2,3])#열벡터로 바꿔줘야 함
t = t[:,None] # transgpose
u = np.array([2,0,-2])
print(t+u)
>>>[[ 3  1 -1]
 [ 4  2  0]
 [ 5  3  1]]

numpy&선형대수

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영벡터 : 원소가 모두 0인 벡터
np.zeros(dim) dim은 어떤 값 혹은 튜플

np.zeros(3)
np.zeros((3,3))
>>>array([0., 0., 0.])
array([[0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.]])

일벡터 : 원소가 모두 0인 벡터
np.ones(dim) dim은 어떤 값 혹은 튜플

np.ones((3,3))
>>>array([[1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.]])

대각행렬(diagonal matrix) : main diagonal 을 제외한 성분이 0인 행렬

np.diag((2,4))
>>>array([[2, 0],
       [0, 4]])

항등행렬(identity matrix) : main diagonal이 1인 대각행렬

np.eye(2, dtype = int)#dtype 지정 가능 float 디폴트가 float
>>>array([[1, 0],
       [0, 1]])

행렬곱(dot product)
*3차원 이상의 행렬에서 np.dot()와 @ or np.mat_mul()은 다르게 연산

mat_1 = np.array([[1,4],[2,3]])
mat_2 = np.array([[7,9],[0,6]])

mat_1.dot(mat_2)

mat_1@ mat_2
>>>array([[ 7, 33],
       [14, 36]])

대각합(Trace) : 주 대각원소의 값을 모두 더한 값이다.

arr=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
arr.trace()
>>>15

행렬식(determinant) : 정방행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나이다.

arr_2 = np.array([[2,3,],[1,6]])
np.linalg.det(arr_2)
>>>9

역행렬(inverse matrix) : nxn행렬 A,B에 대해 AB=BA=I을 만족하는 행렬 B를 A의 역행렬이라고 한다.

mat = np.array([[1,4],[2,3]])
mat_inv = np.linalg.inv(mat)
mat @ mat_inv
>>>array([[ 1.00000000e+00,  0.00000000e+00],
       [-1.11022302e-16,  1.00000000e+00]])

고유값과 고유벡터(eigenvalue, eigenvector)

정방행렬 A에 대해 $Ax=\lambda x$를 만족하는 상수$\lambda$와 이에 대응하는 벡터x를 고유값 고유벡터라 한다.

mat = np.array([[2,0,-2],[1,1,-2],[0,0,1]])
np.linalg.eig(mat)
>>>(array([1., 2., 1.]),#이게 고유값
 array([[0.        , 0.70710678, 0.89442719],#이게 고유벡터
        [1.        , 0.70710678, 0.        ],
        [0.        , 0.        , 0.4472136 ]]))

eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(mat)
mat @ eig_vec[:,0]#Ax의 결과
>>>array([0., 1., 0.])

eig_val[0] * eig_vec[:,0]#eig_val[0]은 스칼라이므로 @행렬곱은 안됨 
>>>array([0., 1., 0.])

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Exercises

1. 어떤 벡터가 주어졌을 때 L2 norm을 구하는 함수 get_L2_norm()을 작성하세요

• 매개변수 : 1차원 벡터 (np.array)
• 반환값 : 인자로 주어진 벡터의 L2 Norm값 (number)

import numpy as np

mat = np.array([1,3,5,7])

def get_L2_norm(mat):
    return np.linalg.norm(mat, ord=2)

print(get_L2_norm(mat))
>>>9.16515138991168

2. 어떤 행렬이 singular matrix(역행렬이 존재하지 않는 행렬)인지 확인하는 함수 is_singular() 를 작성하세요

• 매개변수 : 2차원 벡터(np.array)
• 반환값 : 인자로 주어진 벡터가 singular하면 True, non-singular하면 False를 반환

import numpy as np

mat_1 = np.array([[1,3],[5,7]])
mat_2 = np.array([[1,2],[2,4]])

def is_singular(mat):
    return True if np.linalg.det(mat) == 0 else False

print(is_singular(mat_1))
print(is_singular(mat_2))
>>>False
True

끝~!

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