Ax=b. 선형대수학의 시작?!

데이터분석을 공부하기 시작한 당신! 선형대수학을 배워야하는 당신!
걱정하지 마라! 내가왔으니!

그렇다. 나도 잡혀왔다.

그래도 어차피 해야하는거 왜 하는지나 알고 시작해보자!

선형대수의 필요성

선형대수(linear algebra)는 데이터 분석에 필요한 각종 계산을 돕는 학문이다. 데이터 분석을 하려면 수많은 숫자로 이루어진 데이터를 다루어야 한다. 하나의 데이터가 수십 개에서 수만 개의 숫자로 이루어져 있을 수도 있고, 또 이러한 데이터 수만개가 하나의 집합을 이루고 있을 수도 있다.

"선형대수를 사용하면 대량의 데이터를 포함하는 복잡한 계산 과정을 몇 글자 되지 않는 간단한 수식으로 서술할 수 있다. 따라서 데이터를 다루는 과정을 정확하고 간단하게 서술할 수 있다."
출처 : 데이터사이언스스쿨

그렇다. 방대한 양의 데이터를 계산하는 건 컴퓨터가 할 것이고, 컴퓨터는 숫자밖에 못 읽으니, 우리는 숫자를 묶어놓은 벡터나 행렬, 텐서 등을 컴퓨터에게 전달해줄 것이고, 그것들을 계산하는 방법이 바로 선형 대수이다.

첫번째 과제는...? $Ax = b$

그러면 초심자인 나에게 주어진 첫번째 과제가 무엇이냐하면,
바로 $Ax = b$이다. 쫄지 말자. 별거 아니다.

우리가 보통 데이터분석을 통해서 하고자 하는 것은 예측이나, 데이터가 어떤 관계가 있느냐 이다.
예시를 들자면, 집값을 예측할 때, 집의 평수를 이용해서 집값을 예측하거나 평수가 집값에 얼마나 영향을 미치는지가 궁금한 게 아니겠는가?

그렇다면 우리가 궁금해하는 것을 정말 간단한 방정식으로 설정하면, 일차방정식이 된다.
$\qquad \qquad \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad(평수) * (영향력) = (집값)$
물론 절대 실제로 저렇게 설정되지는 않지만.

위의 식을 있어보이게 바꾸면 아까 말한
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Ax = b$
가 되는것이다!

$Ax = b$의 3가지 경우

그런데 위의 식을 풀 때 3가지 경우가 있다.
중학교, 고등학교 수학 시간에 배웠다시피, 연립 방정식을 풀었을 때

• 해가 딱 하나 존재하는 경우
• 해가 무한히 많은 경우
• 해가 없는 경우

보통 수학 시간에는 해가 하나만 존재하는 문제들을 열심히 풀었었지만,
현실은 해가 없는 경우가 제일 많다.
왜냐면, 어떻게 복잡하고도 난해한 현실 세계를 수식하나로 표현할 수 있겠는가..
현실은 험난하고도 가혹하다.

그래도!
우리는 3가지 경우에 각각 어떤 방식으로 해를 구할 수 있는지 공부해 나갈 것이다.
그것이 선형대수의 기초니까!

그 과정에서 알아야하는 벡터나 행렬의 기본 개념들 또한 챙겨가면서 한번 $Ax=b$를 같이 풀어나가 보도록 하자.