Strategy for Testing Series

Calculus Chapter 11에서 우리는 급수의 수렴과 발산 여부를 확인하기 위한 여러가지 방법들을 배웠다. 이제 문제는 어떤 급수에 어떤 테스트를 적용할지 결정하는 것이다.

1. Test for Divergence :

• $\lim_{x \to \infty}a_n \ne 0$

2. p-Series :

• 급수가 형태가 $\sum 1/n^p$라면, then it is a p-Series
  converges if p > 1, divergent if p <= 1

3. Geometric Series :

• 등비급수의 합 형태, $\sum ar^n$이라면
  converges if $\left\vert r \right\vert <1$, diverges if $\left\vert r \right\vert \geq 1$

4. Comparaision Test :

• p-Series 나 geometric Series와 유사한 모양이라면, Comparsion test를 사용한다.
• 만약 $a_n$이 rational fucntion 또는 algebraic function이라면, 급수는 p-Series와 비교되어야 한다.
• Comparison tests는 positive term으로 이루어진 급수에만 적용된다. 만약에 negative term이 포함되어있다면, absolute convergence를 확인한다.
  - Comparsion Test 에는 Direct와 limit 두가지가 있음에 유의
  

5. Alternating Series Test :

• $\sum b_n$이 수렴하면, 주어진 급수가 absolutely convergent하므로 convergent.

6. Ratio Test :

• factorial 이나 other products와 연관되어있다면,
• $\left\vert a_{n+1} / a_n \right\vert$ 의 값이 1보다 작으면 convergent, 크면 divergent, 같으면 추가적으로 확인해봐야한다.

7. Root Test :
   만약 $a_n$이 $(b_n)^n$의 형태라면.

8. Integral Test :
   만약 $a_n = f(n)$ 일 때, 적분이 쉽게 계산된다면.
   대신 $f(x)$는 Postive, Continuous, Decreasing 해야한다.