이 포스트는 동빈나 "이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬" 유튜브 강의를 기반으로 작성하였습니다. https://www.youtube.com/watch?v=m-9pAwq1o3w&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC

최단 경로 알고리즘

가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

다양한 문제 상황

• 한 지점에서 다른 한 지점까지의 경로
• 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 경로
• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 경로

각 지점은 그래프에서 노드로 표현

지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

https://m.blog.naver.com/ndb796/221234424646

• 특정한 노드 → 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다
• 음의 간선 X
  • 현실 세계에서 도로는 음의 간선으로 표현되지 않음
• 그리디 알고리즘 : 매 순간 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
• 다익스트라 동작 과정
  1. 출발 노드를 설정
  2. 최단 거리 테이블 초기화
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨

• 다익스트라 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야됨
• 전체 시간 복잡도는 O(V^2)
• 일반적으로 코딩테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드 수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있음

우선순위큐 (Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
• 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있음

Stack	가장 나중에 삽입된 데이터 (LIFO)
Queue	가장 먼저 삽입된 데이터 (FiFO)
Priority Queue	가장 우선순위가 높은 데이터

• 힙(Heap)을 사용해서 우선순위 큐를 사용할 수 있음
  • 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있음
  • 트리 구조를 사용하여 삽입과 삭제 시간이 리스트에 비해 작음
  • 다양한 알고리즘에서 사용됨

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
list	O(1)	O(N)
heap	O(log N)	O(log N)

• 파이썬은 heapq 라이브러리를 이용하여 쉽게 구현할 수 있음

import heapq

# 오름차순 힙 정렬 (HeapSort) : Min Heap
def minheapsort(iterable):
		h = []
		result = []
		# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
		for value in iterable:
				heapq.heappush(h, value)
		# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
		for i in range(len(h)):
				result.append(heapq.heappop(h))
		return result
	
# 내림차순 힙 정렬 (HeapSort) : Max Heap
def maxheapsort(iterable):
		h = []
		result = []
		# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
		for value in iterable:
				heapq.heappush(h, -value) # 마이너스 값으로 넣어 내림차순 구현
		# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
		for i in range(len(h)):
				result.append(heapq.heappop(h))
		return result
	
result = minheapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
result = maxheapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

Heap을 사용한 다익스트라 알고리즘

• 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘은 O(E log V)
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문 (while)은 노드의 개수 V 이상으로는 처리되지 않음
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있음
• 직관적으로 전체 과정을 E개의 원소를 우선순위큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사함
  • 시간 복잡도를 O(E log E)로 판단할 수 있음
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(E log V)로 정리할 수 있음
    • O(E log E) → O(E log V^2) → O(2E log V) → O(E log V)

플로이드 워셜 (Floyd-Warshall) 알고리즘

https://m.blog.naver.com/ndb796/221234427842

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 다익스트라와 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음
• 플로이드 워셜을 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장함
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함

구현 방식

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
  • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
• 점화식은 다음과 같음
  • $D_{ab}=min (D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$
• 플로이드 워셜 동작 원리
• 플로이드 워셜 코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1): # 거쳐가는 노드 k
    for a in range(1, n + 1): # 출발 노드 a
        for b in range(1, n + 1): # 도착 노드 b
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

• 노드의 개수가 N개일때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행함
  • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려
• 총 시간 복잡도는 O(N^3)

전보

어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메세지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메세지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내려면 도시 X -> Y로 가는 통로가 설치되어 있어야 한다. 어느 날 C라는 도시 C에서 위급 상황이 발생해 최대한 많은 도시로 전보를 보내야 한다. 메세지는 도시 C에서 출발해 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐 최대한 많이 퍼져나갈 것이다. 각 도시의 번호와 통로가 정보로 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메세지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개 이며 도시들이 모두 메세지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성해라.

Input

• 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메세지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.(1<= N <= 30,000 , 1 <= M <= 200,000 , 1 <= C <= N)
• 둘째 줄부터 M+1 번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메세지가 전달되는 시간이 Z라는 의미다. (1 <= X, Y <= N , 1 <= Z <= 1,000)

Output

• 첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메세지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분해 출력한다.

<입력>
3 2 1
1 2 4
1 3 2

<출력>
2 4

풀이

한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있으므로 다익스트라 알고리즘을 이용해서 풀 수 있다.

N과 M의 범위가 충분히 크게 때문에, 우선순위 큐를 이용하여 다익스트라 알고리즘을 작성해야 한다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
   q = []
   # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
   heapq.heappush(q, (0, start))
   distance[start] = 0
   while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

미래도시

미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다.

방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.

미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다.

또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.

또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다.

방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다.

따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다.

이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다. 방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

Input

• 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= N, M <= 100)
• 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.

M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= K <= 100)

Output

• 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
• 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.

<입력 예시 1>

5 7

1 2

1 3

1 4

2 4

3 4

3 5

4 5

4 5

<출력 예시 1>

3

<입력 예시 2>

4 2

1 3

2 4

3 4

<출력 예시 2>

• 1
• 풀이
  • 전형적인 최단 거리 문제로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결
  • N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘으로도 효율적으로 해결 가능
  • 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 정답 판정을 받을 수 있음
• 코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)