Convolution

Kkoaa·2022년 2월 15일

신호 및 시스템

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원래 이산신호 그래프는 점으로 표기해야 하지만, 점으로 표시하기 좀 깔끔해보이지 않아서 다음과 같이 표현하였다.
Discrete time에서 dirac delta 함수의 모습, n=0일때 1이고 0이 아닌 구간의 값은 모두 0이다.

위와 같은 이산 신호 $x(n)$ = [ 3, 1, 2, 2, 3 ]이 있다 하자. 위 그림에서 각 index k에 있는 값들은 dirac delta함수를 사용하여 $x(k)\times\delta(n - k)$ 으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 $x(1)=x(1)\times\delta(n-1)$ 로 나타낼 수 있다. 즉

x(n) = \displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{x(k)\delta(n-k)}

이 때, 위 $x(n)$ 신호를 LTI시스템 $H$ 에 넣는다고 하자. 그 때 $H$ 의 출력 $y(n)$ 을 구해보자.

y(n) = H\{x(n)\} = H\{\displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{x(k)\delta(n-k)}\}

시스템 $H$ 가 LTI 시스템이므로 "superposition"에 의해 $\displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}x(k)$ 가 밖으로 빠져나올 수 있다.

H\{\displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{x(k)\delta(n-k)}\} = \displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{x(k)}H\{\delta(n-k)\}

Impulse Resopnse Function

dirac delta함수를 LTI시스템의 입력으로 넣으면
$H\{\delta(n)\} = h(n)$
이 때, $\delta(n)$ 은 impulse function이 되고
시스템의 출력 h(n)을 impulse resopnse function이라고 한다.

따라서 $y(n)$ 은 최종적으로

y(n) = \displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{x(k)}H\{\delta(n-k)\} = \displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{x(k)h(n-k)}

가 된다. 이는 convolution으로 나타낼 수 있고 기호로 $x(n)*h(n)$ 과 같이 나타낸다.

DT에서의 convolution과 CT에서 convolution은 모두 똑같다. 단지 차이는 $\displaystyle\sum$ 과 $\int\limits$ 의 차이일 뿐이다. CT에서 convolution을 나타내보면

y(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t-\tau) d\tau

Convolution 계산

어떤 신호 $x(n)$ 과 $y(n)$ 의 convolution을 보다 쉽게 계산하는 방식이 있다.
아래와 같은 이산 신호 $x(n)$ = [3, 1, 2, 2, 3]과 $y(n)$ = [2, 1, 1]이 있다 가정하자. 값이 없는 구간은 모두 0이라 하자.

이때, convolution $x(n)*y(n)$ 을 구하는 과정은다음과 같다.