말로 풀어쓴 요약

1.gcd(a,b)가 a와 b의 linear combination으로 이루어질 수 있다는 증명.(이전 내용에 기록)

2.Thm1.4는 참 중요하다.
p가 bc를 나눌 때 b를 나누지 못하면 c를 나누고 c를 나누지 못하면 b를 나눈다.

3.Thm1.5 (=>)p가 prime일 때 p가 bc를 나누면 b를 나누거나 c를 나누거나이다.

(<=)모든 b,c에 관해 bc를 p가 나누었을 때 b를 나누거나 c를 나눈다면 p는 prime이다.
여기서 모든 b,c가 핵심인데 for all이라고 언급은 되어있지 않지만 모든 b,c를 지칭한다.
만약 모든 bc가 아니라면 p =6 b=6 c=4라는 반례가 존재한다. 모든 bc일 때는 bc값이 위의 예시처럼 24로 고정된 것이 아닌 p가 나눌 수 있는 모든 값이 될 것이다.

4.Prime Factorization의 증명에서는 먼저 Prime Factorization으로 표현할 수 없는 집합을 생각하고 그 집합이 empty임을 보인다. 먼저 집합이 empty가 아니라고 가정하면 모든 소수 p는 그 element가 아니다. 집합이 자연수 집합의 부분집합에 nonempty임으로 최소원소가 M으로 존재한다.M은 소수가 아니므로 그 수를 나누는 숫자가 존재하고 나누는 숫자는 당연히 더 작으므로 집합의 최소원소보다 작아 집합에 속하지 않는다. 즉 Prime Factorization이 가능하다. M = a*b라고 쓰면 a,b는 각각 factorization이 되므로 즉, M도 Factorization된다. 이는 contradiction이므로 증명 끝. 우리가 가정한 집합은 공집합이다. 즉, 모두 factorization된다.