[TimeSeries] 금융시계열과 ARCH 모델의 이해

jul ee·2025년 5월 26일

데이터 성장기

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🖇 금융에서 활용되는 수익률
🖇 자산 수익률의 특징
🖇 조건부 이분산성과 변동성 클러스터링
🖇 ARCH 모델
🖇 GARCH 모델
🖇 변동성 모델링의 활용

금융 시계열(Financial Time Series)이란, 주가나 환율처럼 시간이 지남에 따라 변화하는 금융 데이터를 의미한다.

이러한 데이터는 시간 축을 따라 수집되기 때문에 일반적인 통계 데이터와는 다른 특징을 가지며 전용 분석 방법이 필요하다. 금융 시계열은 가격 자체보다는 수익률(Return)을 중심으로 분석하는 것이 일반적이다. 수익률은 예측할 수 없는 움직임을 보이는 것처럼 보이지만 일정한 규칙이나 패턴이 반복되는 경우도 있다.

이 글에서는 금융 데이터에 자주 나타나는 특성을 설명하고, 그 특성에 맞게 설계된 변동성 예측 모델인 ARCH와 GARCH 모델을 정리해 보았다.

🖇 금융에서 활용되는 수익률

수익률(Return)은 일정 기간 동안 자산 가격이 얼마나 올랐거나 떨어졌는지를 나타내는 비율을 말한다.

금융에서는 가격보다는 수익률을 분석하는 경우가 많다. 가격은 자산의 절대적인 값이지만 수익률은 그 자산이 얼마나 이익(또는 손실)을 냈는지를 나타내기 때문이다.

다기간 수익률 (Multiperiod Simple Return)

다기간 수익률은 여러 기간의 수익률을 곱셈 형태로 계산한 누적 수익률이다.

\frac{P_t}{P_{t-k}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} \times \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}} \times \cdots \times \frac{P_{t-k+1}}{P_{t-k}}

$P_t$ : 시점 $t$ 에서의 자산 가격

이 수익률은 복리처럼 누적되어 계산되며, 투자자 입장에서 실제 수익을 직관적으로 확인할 수 있는 방식이다.

다기간 로그 수익률 (Multiperiod Log Return)

로그 수익률은 위 수익률에 로그를 취한 값이다.

\log \frac{P_t}{P_{t-k}} = r_t + r_{t-1} + \cdots + r_{t-k+1}

로그 수익률은 단순 수익률을 더하기 형태로 바꿔 계산할 수 있어서 계산이 간편하다. 이러한 성질을 Additive하다고 한다. 여러 기간의 수익률을 하나씩 더해서 전체 수익률을 계산할 수 있는 것이다.

이런 계산 방식은 통계 모델링에서도 유리하고, 여러 요인을 결합할 때에도 해석이 간단해진다.

따라서 금융 시계열 분석에서는 로그 수익률을 주로 사용한다.

🖇 자산 수익률의 특징 (Stylized Facts)

금융 데이터를 분석해 보면 자산 수익률에는 일정한 통계적 패턴이 반복적으로 나타난다.

이런 특징들을 Stylized Facts(정형화된 사실)이라고 부른다.

1. 좌우 대칭 분포

수익률은 평균을 기준으로 좌우가 비슷하게 나타나는 경우가 많다.
이는 정규분포와 유사한 성질로, 보통의 작은 변화들이 반복되는 경우를 의미한다.

2. 두꺼운 꼬리 분포 (Heavy Tails)

드물게 극단적인 수익이나 손실이 발생한다.
이는 정규분포보다 꼬리가 두껍다는 의미로, 금융위기 같은 사건이 그 예다.

3. 수익률 간 독립성

시간적으로 수익률끼리는 큰 상관이 없는 경우가 많다. 이 특징은 효율적 시장 가설(EMH)과 연결된다.
시장은 새로운 정보를 빠르게 반영하므로 예측이 어렵다는 가정이다.

4. 수익률 제곱의 자기상관성

수익률 자체는 독립적이지만, 수익률의 제곱 또는 절댓값은 특정 시점의 영향이 다음 시점까지 이어지는 경향을 보인다.
이것이 조건부 이분산성(Conditional Heteroskedasticity)이다.

🖇 조건부 이분산성과 변동성 클러스터링

일반적인 통계 모델은 데이터의 분산이 일정하다고 가정한다.

하지만 금융 시계열에서는 분산이 시간에 따라 달라지는 경우가 많다. 이런 현상을 조건부 이분산성이라고 한다.

특히 높은 변동성이 발생하는 시기들이 군집(cluster) 처럼 몰려 있는 경우가 많다. 예를 들어, 금융위기 때는 며칠 동안 연속해서 변동성이 높게 나타난다. 이런 현상을 변동성 클러스터링이라고 부른다.

이처럼 분산이 시간에 따라 달라지는 데이터를 설명하기 위해 나온 모델이 ARCH와 GARCH 모델이다.

🖇 ARCH 모델

ARCH는 "자기회귀 조건부 이분산성(AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity)" 모델이다.

이 모델은 수익률의 분산 자체가 과거의 수익률 제곱(충격)값에 따라 변화한다고 본다.

r_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 r_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_m r_{t-m}^2 + \eta_t

$r_t^2$ : 현재 시점의 수익률 제곱 (즉, 변동성)
$\alpha_i$ : 각 시점의 영향력 (계수)
$\eta_t$ : 오차항

이 모델은 과거의 충격이 현재의 변동성에 영향을 준다고 가정하고, 변동성이 스스로를 설명하는 구조를 갖는다.

Python에서는 arch라는 라이브러리를 통해 ARCH 모델을 간단히 적용할 수 있다.

🖇 GARCH 모델

ARCH 모델은 유용하지만 과거 오차를 많이 사용할수록 계산이 복잡해지고 안정성이 떨어질 수 있다.

이 문제를 개선한 것이 GARCH (Generalized ARCH) 모델이다. GARCH는 ARCH처럼 과거 오차를 반영하는 동시에 이전 시점의 예측된 변동성도 함께 고려한다.

\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 r_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2

$\sigma_t^2$ : 현재 시점의 조건부 분산 (예측된 변동성)
$\alpha_1$ : 직전 시점 수익률의 영향
$\beta_1$ : 직전 시점의 분산 영향

이 모델은 과거의 충격뿐 아니라 과거에 예측한 변동성 자체도 반영하기 때문에 변동성의 지속성을 더 잘 설명할 수 있다. 시장에 한 번 큰 충격이 오면 그 여파가 오랫동안 이어질 수 있다는 점을 모델이 인식할 수 있다.

🖇 변동성 모델링의 활용

ARCH와 GARCH 모델은 단순히 수익률을 예측하는 것 이상으로 실제 금융 시장에서 꽤 다양한 상황에 사용된다. 특히 '가격이 얼마나 크게 요동치는가' 를 예측할 수 있다는 점에서 큰 가치를 갖는다고 할 수있다.

✓ 옵션 가격 계산

옵션 같은 파생상품은 가격 자체가 변동성에 민감하다. 예를 들어, 앞으로 가격이 많이 오르내릴 것으로 예상된다면 옵션 가격도 함께 올라간다.
GARCH 모델은 이런 변동성 자체를 숫자로 예측해주기 때문에 옵션의 가격을 더 정교하게 계산할 수 있다.

✓ 투자 위험 관리

"내가 가진 자산이 내일 얼마나 떨어질 수 있을까?" 같은 질문에 답하기 위해서는 위험(=변동성)을 예측할 수 있어야 한다. GARCH 모델을 활용하면 일정 기간 동안의 최대 손실을 추정할 수 있고, 이를 바탕으로 '너무 위험한 상황'이 오기 전에 조정에 활용할 수 있다.

✓ 매매 타이밍 판단

변동성이 갑자기 커지면 시장에 뭔가 불안정한 일이 일어나고 있을 수 있다. 반대로 변동성이 줄어들면 시장이 잠잠하다는 신호일 수 있다. 이런 변동성 예측은 언제 투자를 줄이고 언제 늘려야 할지 판단하는 데 도움을 줄 수 있다.

실제로는 GARCH 모델을 더 발전시킨 다양한 모델들이 존재하지만 중요한 점은 시간에 따라 달라지는 불안정함을 수치로 표현하고 예측한다는 것이다. 이것만으로도 투자 전략, 가격 평가, 위험 관리에서 큰 차이를 만들 수 있다.

GARCH는 그만큼 시장을 조금 더 예측 가능한 숫자로 만들 수 있게 해준다는 점에서 중요한 의미를 지닌다고 생각된다.

인사이트 및 회고

금융 시계열은 매우 불규칙하고 예측이 어려운 데이터지만, ARCH와 GARCH 같은 확률 기반 변동성 모델을 활용하면 이러한 불확실성을 구조적으로 설명하고 예측할 수 있는 가능성을 말할 수 있다는 사실이 흥미로웠다.

금융 데이터는 정규분포를 따르지 않고, 두꺼운 꼬리 분포와 조건부 이분산성을 포함하는 경우가 많다는 점도 새로운 사실이었다.

ARCH 모델은 과거 수익률의 제곱값(시장 충격)을 기반으로 현재의 변동성을 설명하고, GARCH는 여기에 더해 이전 시점에서 예측된 변동성 자체까지 함께 고려하여 변동성이 시간에 따라 얼마나 지속되는지를 보다 정교하게 반영할 수 있다.

아직은 어렵게 다가오는 도메인이지만 시계열 데이터를 분석하면서 어느 정도 제대로 된 이해도가 생겼으면 한다.

jul ee

AI에 관심을 가지고, 데이터로 가치를 만들어 나가는 과정을 기록합니다.