복소지수항은 기준 패턴, 모형, 틀을 제공하는 역할이고 x(n)은 그것에 가중치를 주는것 DFT는 둘을 내적하여 이 신호가 각 k번 회전 패턴과 얼마나 닮았는지를 알아보는것
✔ 내 신호가 어떤 주파수 패턴을 얼마나 가지고 있나? 를
✔ k=0 ~ N-1까지 모든 기준 주파수 패턴에 대해
✔ 내적을 통해 유사도(닮은 정도)를 측정하는 과정
푸리에 변환
e^(-j2πft)는 크기가 1이고 각속도를 갖는 복소평면(주파수 영역)의 회전을 나타냄
y(t)는 시간 영역에서의 신호이다.
두함수 X와 Y가 있을 때 ∫X•Y는 두 함수의 내적
(내적 (i,j,k)•(p,q,r) = ip+jq+kr)
따라서 회전을 나타내는 함수(복소지수함수e)의 시간 t와 시간영역에서의 시간 t를 변화시키며 각각 곱한뒤 더하면 내적이다
이것은 함수 X가 Y에 정사영된 정도를 나타냄
즉, 시간영역 신호 y(t)가 주파수 영역의 주기적인 신호 e^(-j2πft)에 정사영되어 얼만큼의 영향을 주는지 주파수 영역에서 알 수 있다.
(*변수 x를 적분하면 더 이상 x에 관한 식이 아님, ex) x^2을 0~1까지 적분하면 1/3[x^3]0~1 = 1/3, 따라서 t에관한 적분은 변수 f만 남고 주파수에 관한 식이 된다.)
DFT
디지털처리를 위해 시간과 주파수영역 모두 이산화,∫-> Σ로 바뀌며 구간은 특정 주기 N으로 제한 이것은 회전신호 또는 특정 주기 신호를 N등분 한것
따라서 주파수 f => k/N, 시간 t => n 으로 표현
N을 넘어가면 같은 값이 반복되므로 f<1, k는 0~N-1
DFT를 계산하다보면 반복되는 규칙성들이 있는데 이것을 간략히 하면
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푸리에 급수는 주기신호를 무수히 많은 정현파들의 합으로 표현
푸리에 변환은 푸리에 급수를 비주기신호로 확장함
푸리에 변환은 시간영역의 신호를 주파수영역으로 표현할 수 있게 해주고
DFT(이산 푸리에 변환)은 컴퓨터로 계산할 수 있게 시간영역의 신호와 주파수영역의 신호를 이산화 한것
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주기 신호를 푸리에 변화하면 주파수영역에서 이산적인 주파수 값으로 나오고 비주기 신호를 변환하면 연속적인 주파수 값으로 나온다.
DFT는 시간 영역의 비주기 신호를 길이 N으로 잘라서 변환하는데 이때 길이 N만큼 자른 신호가 주기적으로 반복되고 있다고 가정하고 변환한다 그럼 주파수 영역에서 이산적인 값으로 나오므로 디지털 처리가 가능하다.
또는
시간 t ==sampling==>주파수 f 반복
시간 t 반복 <==sampling== 주파수 f
이런식으로 생각할 수도 있다
IDFT유도 과정중 사진 k-l=0일때는 지수가 0이되서 전체값 N이 나오는데
k-l=0 아닐때를 구하는 과정
복소지수함수로 표현된 주파수 회전에관한 개인적 생각
복소지수함수의 회전에서 회전각이 커질수록 주파수가 점점 높아짐을 나타냄
복소지수 함수에서 주파수의 회전을 나타내는데 시간 인덱스 n을 곱한다는 것은 해당 주파수가(2pik/N) 시간의 변화에 따라 어떻게 변화하는지 나타냄, 그 크기는 계수(진폭인듯) x(n)을 곱함
