[Linear Algebra] Linear Combination, Linear Independence, Basis

Linear Combination (선형 결합)

Vector space V 와 유한한 수의 벡터 x1,…,xk ∈V 가 있을 때, 아래의 형태를 만족하는 모든 v∈V (λ1 ,…,λk ∈R) 를 벡터 x1, …,xk 의 linear combination 이라고 한다.

간단하게 말하면 벡터를 스칼라곱과 벡터끼리의 합으로 표현한 것이고, 이때 스칼라 값은 0을 포함한 모든 실수가 될 수 있다.

Linear Independence (선형 독립)

주어진 벡터

v1, ... Vp ∈ Rn 에 대하, Vj가 이전 벡터 v1, ... vj-1 의 선형 결합으로 표현 가능하지 않은 경우

어떠한 Vj라도 발견되지 않는 경우 -> linear independent (선형 독립)
어떠한 Vj 라도 발견이 가능한 경우 -> linear dependent (선형 종속)

위의 식에서

x1, x2, ... , xn = 0 으로, 오직 한 개의 해만 존재하는 경우 - > linear independent (선형 독립)
다른 해가 존재하는 경우 -> linear dependent (선형 종속)

특정한 vector를 다른 vector의 연산으로 도출이 안되는 경우 -> linear independent (선형 독립)
특정한 vector를 다른 vector의 연산으로 도출이 가능한 경우 -> linear dependent (선형 종속)

Evaluating Linear Indenpendent

$\det \ =\ 0\ ->\ linear\ dependent$det = 0 −> linear dependent​
$\det \ \ne \ 0\ ->\ linear\ independent$det ≠ 0 −> linear independent​

Basis (기저벡터)

subspace W의 기저벡터는 아래 두 조건을 만족하는 벡터들의 부분집합이다.

1. 주어진 subspace W를 Full Span 하는 벡터

2. Linearly independent (선형독립으로만 이루어진 벡터)

• finite - dimensinal 의 vector space V에서 V의 차원은 Basis 의 수 이다.
• 직관적으로 vector space (벡터 공간)의 차원은 vector space 상의 독립적인 방향의 수라고 생각하면 된다.
• vector 개수 > dimension 개수이면 linearly dependent (선형 종속) 이다.
• dimension 미만의 개수의 vector가 만드는 집합은 subspace를 생성할 수 없다.