오일러 공식 증명

Sch·2021년 8월 24일

이 문서는 2021년 8월 1일에 노션에 작성한 것을 그대로 가져온 것입니다.

수학에서

e^{\pi i}=-1

이라는 것은 잘 알려져 있다. 하지만 많은 사람들이 이것이 왜 참인지를 모르고 그렇다고만 알고 있다. 이 문서에서는 그것을 증명해보려고 한다.

오일러 공식

이 공식은 오일러 공식이라고 불리는 식에서 파생된 식이다. 오일러 공식은 다음과 같다.

e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta

이것을 증명하는 방법은 많이 있지만, 내가 고등학교에서 테일러 급수에 대해 발표하면서 테일러 급수를 알아봤으므로, 테일러 급수를 활용한 증명을 보이려고 한다.

함수 $e^{\theta i}$ 의 $\theta$ 에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 주어진다.

\begin{aligned} e^{\theta i}&=\sum_{n=0}^\infty {\left[ {d^n \over dx^n} e^{\theta i} \right]_{\theta=0} \over n!}\theta^n \\ &=1 + \theta i - {\theta^2 \over 2} -{\theta^3 \over 3!}i+{\theta^4\over 4!}+{\theta^5 \over 5!}i\pm\cdots \end{aligned}

이 식에서 허수 부분과 실수 부분을 나눈다.

e^{\theta i}=1-{\theta^2 \over 2!} + {\theta^4 \over 4!}-{\theta^6 \over 6!}\pm\cdots+i\left( \theta -{\theta^3 \over 3!} + {\theta^5 \over 5!} -{\theta^7 \over 7!} \pm\cdots \right)

여기서, 우리는 이전에 $\sin x$ 와 $\cos x$ 에 대한 매클로린 급수가 각각 다음과 같음을 알아본 적이 있다.

\begin{aligned} \sin x&=x-{x^3 \over 3!}+{x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} +{x^9 \over 9!}\pm \cdots \\ \cos x&=1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-{x^6 \over 6!}+{x^8 \over 8!}\pm \cdots \end{aligned}

즉, $e^{\theta i}$ 의 실수 부분은 $\cos \theta$ , 허수 부분은 $\sin \theta$ 인 것이다. 즉,

e^{\theta i}=\cos \theta +i \sin \theta

이다.
이 공식의 $\theta$ 에 $\pi$ 를 대입하면 다음을 얻는다.

\begin{aligned} e^{\pi i}&=\cos \pi + i \sin \pi \\ &=-1 + i \cdot 0 \\ &=-1&\blacksquare \end{aligned}

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