- 이것이 취업을 위한 코딩테스다 with 파이썬(이코테 2021) 유튜브 영상을 보면서 공부한 자료입니다.
- https://www.youtube.com/watch?v=m-9pAwq1o3w&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC
최단 경로 문제
- 최단 경로 알고리즘은, 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
- 다양한 문제 상황
- 한 지점에서, 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서, 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서, 다른 모든 지점까지의 최단 경로 - 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
- 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요
- 특정한 노드에서 출발하여, 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다
- 현실 세계의 도로는 음의 간선으로 표현되지 않는다 - 다익스트라 최단 경로 알고리즘은, 그리디 알고리즘으로 분류된다.
- 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해, 임의의 과정을 반복한다. - 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.
다익스트라 알고리즘의 특징
- 그리디 알고리즘의 특성을 갖는다: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
- 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에, 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해, 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인한다.
다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 성능 분석
- O(V)번에 걸쳐서, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
- 따라서 전체 시간 복잡도는 다음과 같이 된다.
우선순위 큐(Priority Queue)
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제할 수 있는 자료구조이다.
힙(Heap)
- 우선순위 큐를 구현하기 위해, 사용하는 자료구조 중 하나이다.
- 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
- 최소 힙(Min Heap)
작은 데이터일수록, 우선순위가 높음 -> 오름차순
import heapq
# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
- 최대 힙(Max Heap)
큰 데이터일수록, 우선순위가 높음 -> 내림차순
import heapq
# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해, Heap 자료구조를 이용한다.
- 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서, Heap 자료구조를 이용한다는 점만이 다른 부분이다.
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로, 최소 힙을 사용한다.
- 다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법(Python)
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
# 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
INF = int(1e9)
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서, b번 노드로 가는 비용이, c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
# 큐가 비어있지 않다면
while q:
# 가장 최단 거리가 잛은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
# (이렇게 현재 dist 값이 더 큰 경우라면 이미 처리 된 것으로 간주가 가능)
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라- 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 성능 분석
- 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 다음과 같다.
플로이드 워셜 알고리즘 개요
- 모든 노드에서, 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
- 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다. - 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
# 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
INF = int(1e9)
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만드록, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석
<문제 1> 전보
입력 예시
3 2 1
1 2 4
1 3 2
- 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
- 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에 걸쳐서, 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다.
- 이는 특정 도시 X에서, 다른 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미이다.
출력 예시
2 4
- 첫째 줄에 도시 C에서 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.
<풀이 1> 전보
문제 해결 아이디어
- 다익스트라 알고리즘을 이용한다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
# 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
INF = int(1e9)
def dijstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
# 큐가 비어있지 않다면
while q:
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
# X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
graph[x].append((y, z))
dijstra(start)
# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
# 도달할 수 있는 노드인 경우
if d != 1e9:
count += 1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count -1, max_distance)
<문제 2> 미래 도시
입력 예시
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
3 4
3 5
4 5
5 4
- 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과, 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다.
- 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
- M + 2번째 줄에는, K와 X가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다.
출력 예시
3
- 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
- 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.
<풀이 2> 미래 도시
문제 해결 아이디어
- N의 크기가 최대 100이므로, 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결 가능
- 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 K까지의 최단 거리 + K에서 X까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 된다.
# 무한을 의미하는 갑승로 10억을 설정
INF = int(1e9)
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
a, b = map(int, input().split())
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1
# 거쳐 갈 노드 K와, 최종 목적지 노드 X를 입력받기
k, x = map(int, input().split())
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for t in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][t] + graph[t][b])
# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]
# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= INF:
print("-1")
# 도달할 수 있따면, 최단 거리를 출력
else:
print(distance)
안녕하세요.