[핸즈온 머신러닝 2판] 4장 정리

juyeon·2022년 8월 7일
AI/ML/DL
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핸즈온 머신러닝 2판

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개념 정리

벡터 사이의 점곱

θ⋅x=θ0x0+θ1x1+θ2x2⋯θnxn\bold {\theta} \cdot \bold x = {\theta}_0x_0 + {\theta}_1x_1 +{\theta}_2x_2 \cdots {\theta}_nx_n

열벡터(열행렬)

: 한 개의 열을 갖는 행렬
b=[b1b2⋮bn]\bold b =\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_ n \end{bmatrix}

  • 어떤 행벡터 a와 열벡터 b가 있을 경우, 이 두 행렬의 곱은 두 벡터의 내적의 값과 같다
    a⋅b=(a1,a2,⋯ ,am)(b1b2⋮bn)\bold a \cdot \bold b = (a_1, a_2, \cdots, a_m)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_ n \end{pmatrix}

유사 역행렬?

: 역행렬이 존재하지 않는 경우 부분적으로 역행렬과 유사한 역할을 할 수 있는 행렬

  • m<nm < n 또는 어떤 특성이 중복되어 역행렬이 없다면(특이 행렬일 경우), 정규방정식은 작동하지 않지만 유사역행렬은 항상 구할 수 있음

특잇값 분해(singualar value decomposition(SVD))

: 표준 행렬 분해 기법으로, 이것을 사용해서 유사역행렬을 계산.

편향/분산 트레이드 오프

  • 모델의 복잡도가 커지면, 분산이 늘어나고 편향이 줄어듬.
  • 모델의 복잡도가 작아지면, 분산이 작아지고 편항이 커짐.

편향

: 잘못된 가정으로 인해 발생.

  • 편향이 크면 과소적합 가능성도 커짐

분산

: 훈련 데이터의 작은 변동에 모델이 과도하게 민감할때 발생

  • 자유도가 높은 모델(고차 다항 회귀 모델 등..)은 과대적합 가능성이 커짐(높은 분산을 가지기 쉽기 때문에)

줄일 수 없는 오차(irreducible error)

: 데이터 자체에 있는 잡음 때문에 발생

크로스 엔트로피(정리해야함)

4장 모델 훈련

  • 우리가 구현의 모든 내용을 다 알아야 하는건 아니지만, 원리를 알면 많은 이점이 있다
  1. 적절한 모델, 올바른 훈련 알고리즘, 작업에 맞는 좋은 하이퍼파라미터를 빨리 찾을 수 있다
  2. 디버깅이나 에러 분석시 효율적이다

선형 회귀로 해보자

y^=θ0+θ1x1+θ2x2+⋯+θnxn\hat{y}={\theta}_0+{\theta}_1x_1+{\theta}_2x_2 +\cdots+ {\theta}_nx_n

  • y^\hat{y} : 예측값, nn : 특성의 수, xix_i : ii번째 특성값, θj{\theta}_j : j번째 모델 파라미터

y^=hθ(x)=θ⋅x\hat{y}=h_{\theta}(\bold x) = {\theta} \cdot \bold x
: 벡터 형태 (더보기)

비용 함수

: RMSE보다 MSE가 더 간단하므로, 사용

정규방정식: 비용 함수 최소화

  • 정규방정식(nomal equation)
    θ^=(X−1X)−1XTy\hat{\theta}=(\bold X^{-1}\bold X)^{-1}\bold X^{T}\bold y
    • θ^\hat{\theta} : 비용 함수를 최소화하는 θ\theta
    • y\bold y : y(1)y^{(1)} 부터 y^{(m)} 까지 포함하는 타깃 벡터

정규방정식으로 θ^\hat{\theta} 계산

  • numpy 선형대수 모듈(np.linalg)의 inv()로 역행렬 계산, dot()으로 행렬 곱셈

무어-펜로즈 유사 역행렬 계산

  • LinearRegression 클래스의 scipy.linalg.lstsq()함수
    : θ^=X+y\hat{\theta}=\bold X^{+}\bold y 계산
  • 또는 np.linalg.pinv()로 유사 역행렬 직접 구하기 가능

계산 복잡도

  • 정규방정식으로 역행렬 계산시, 계산 복잡도는 O(n2.4)O(n^{2.4})에서 $O(n^{3}) 사이.
  • 사이킷런 LinearRegression의 SVD로 유사역행렬 계산시, 계산 복잡도는 O(n2)O(n^{2})

경사 하강법의 종류

경사 하강법

: 여러 종류의 문제에서 최적의 해법을 찾을 수 있는 일반적인 최적화 알고리즘.
: 비용 함수를 최소화 하기 위해서 방복해서 파라미터를 조정해 나감.

  • 허용오차를 정하여, 벡터의 노름이 그 값보다 작아지면 알고리즘을 중지.

경사 하강법의 문제점

  • 학습률 파라미터(스텝의 크기)가 너무 작으면, 시간이 오래 걸리고
    학습률 파라미터가 크면, 발산한다.
  • 무작위 초기화(임의의 θ\theta 로 시작하기 때문에, 전역 최솟값보다 덜 좋은 지역 최솟값에 수렴하는 문제가 발생 가능

배치 경사 하강법

: 매 경사 하강법 스텝에서 전체 훈련 세트를 사용하여 그레디언트를 계산한다.

배치 경사 하강법의 문제점

  • 매우 큰 훈련 세트에서는 엄청 느리다.

확률적 경사 하강법(SGD)

: 매 스텝 한 개의 샘플을 무작위로 선택하여 그 하나의 샘플에 대한 그레디어트를 계산 함.

  • 사이킷런에서 SGDRegressor 클래스로 선형회귀 가능

확률적 경사 하강법 문제점

: 그냥 경사 하강봅보다는 훨씬 불안정 하다. 구해진 최솟값이 최적치가 아닐 수 있다.

  • 이를 해결하기 위해, 학습 스케줄로 점진적으로 학습률을 줄일 수 있다.

미니배치 경사 하강법

: '미니배치'라는 임의의 작은 샘플 세트에 대해 그레디언트를 계산.

  • GPU를 사용해서 얻는 성능 향상
  • 미니배치가 어느정도 크면, SGD보다 덜 불규칙하게 움직임.
    • 최솟값에 더 가까이 도달하지만, 지역 최솟값에 빠질 확률은 커짐

다항 회귀는 어떨까?

  • 비선형 데이터를 학습하는데 선령 모델을 사용할 수 있다.
  • 고차 다항 회귀는 과대 적합될 가능성이 크다.

학습 곡선: 모델의 복잡도 결정 및 과대/과소적합 판단

모델의 복잡도 결정 및 과대/과소적합 판단

  • 교차 검증
  • 학습 곡선 살펴보기

학습 곡선

: 훈련 세트와 검증 세트의 모델 성능을 훈련 세트 크기(또는 훈련 반복)의 함수로 나나냄.

  • 훈련 세트에서 크기가 다른 서브 세트를 만들어 모델을 여러 번 훈련시킴

과소적합 되었다면

: 더 복잡한 모델을 선택하거나 더 나은 특성을 선택해야함

  • 훈련 샘플을 추가하는건 효과 없음

과대적합 되었다면

: 훈련 샘플을 더 추가하기. 모델을 규제하기.

규제가 있는 선형 모델

과대적합 감소시키기

  • 자유도 줄이기
  • 다항식의 차수 감소(다항 회귀 모델일 경우)
  • 모델의 가중치를 제한

릿지 회귀(ridge 회귀, 티호노프(Tikhonov) 규제)

: 규제가 추가된 선형 회귀 버전

  • 비용 함수에 규제항 α∑i=1nθi2\alpha \sum_{i=1}^{n} {\theta}_i^2이 추가됨
  • 릿지 회귀의 비용 함수:
    J(θ)=MSE(θ)+α12∑i=1nθi2\bold J(\theta)=MSE(\theta)+\displaystyle\alpha \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} {\theta}_i^2
  • 훈련이 끝나고 모델의 성능 평가시에는 규제가 없는 성능 지표로 평가
  • 모델의 가중치가 가능한 한 작게 유지되도록 함.
  • α\alpha : 하이퍼파라미터.
    • 클수록 모델의 분산은 줄어들고, 편향은 커짐.
    • 아주 클수록 모든 가중치가 거의 0에 가까워지고, 데이터의 평균을 지나는 수평선이 됨
    • 작을수록 선형회귀와 가까짐

라쏘 회귀(Lasso 회귀)

: 규제가 추가된 선형 회귀 버전.

  • 비용 함수에 규제항이 추가됨

  • 라쏘 회귀의 비용 함수:
    J(θ)=MSE(θ)+α∑i=1n∣θi∣\bold J(\theta)=MSE(\theta)+\displaystyle\alpha \sum_{i=1}^{n}\left\vert {\theta}_i \right\vert

  • 덜 중요한특성의 가중치를 제거(가중치가 0이 됨). 즉 0이 아닌 특성의 가중치가 적으므로, 자도으로 특성 선택을 하고 희소 모델을 만드는 셈.

  • θi=0\theta_i = 0 일 떄 미분이 안되지만, 서브그레이디언트 벡터 g\bold g 을 사용하면 경사 하강법을 적용 가능하다.

엘라스틱넷

: 릿지 회귀와 라쏘 회귀를 절충한 모델

  • 엘라스틱넷 비용 함수:
    J(θ)=MSE(θ)+rα∑i=1n∣θi∣+1−r2α∑i=1nθi2\displaystyle\bold J(\theta)=MSE(\theta)+r\alpha \sum_{i=1}^{n}\left\vert {\theta}_i \right\vert + \displaystyle \frac{1-r}{2}\alpha \sum_{i=1}^{n} {\theta}_i^2
  • rr : 0이면 릿지 회귀가, 1이면 라쏘 회귀가 됨.

어떤 규제 방법이 좋은 방법일까?

  • 우선, 규제가 없는건 피하자!
  • 릿지가 기본
  • 그러나, 왜인지 쓰이는 특성이 몇개 뿐이다? 라쏘나 엘라스틱넷을 쓰자
  • 또는 특성 수가 훈련 샘플 수보다 많거나 특성 몇 개가 강하게 연관되어 있을 때는 엘라스틱넷을 쓰자

조기 종료

  • 검증 에러가 최솟값에 도달하면 바로 조기 종료하자. 그렇지 않으면, 과대적합 될 것이다.

로지스틱 회귀(로짓 회귀)

: 분류에서도 사용 가능

  • 이진분류기: 1이면 양성 클래스, 0이면 음성 클래스로 예측

확률 추정

  • 입력 특성의 가중치 합을 계싼하여 로지스틱을 출력: 시그모이드 함수

훈련과 비용 함수

  • 로지스틱 회귀의 비용 함수:
    J(θ)=−1m∑i=1m[y(i)log(p^(i))+(1−y(i))log(1−p^(i))]\displaystyle \bold J(\theta)= - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}log\left(\hat p^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right)log\left(1-\hat p^{(i)}\right)\right]
    • 볼록 함수 이므로, 경사 하강법 등을 이용하여 전역 최솟값을 구하면 됨. 정규방정식은 존재하지 않음.

소프트맥스 회귀(다항 로지스틱 회귀)

: 여러 개의 이진 분류기를 훈련시켜 연결하지 않고도 직접 다중 클래스를 지원하도록 일반화 될 수 있다.

  • 샘플 x에 대해서 소프트 맥스 회귀 모델이 각 클래스 k에 대한 점수를 계산하고, 그 점수에 소프트맥스 함수(정규화된 지수 함수)를 적용하여 각 클래스의 확률을 추정.
  • 추정 확률이 가장 높은 클래스(쯕, 점수가 가장 높은 것)을 선택

궁금증

  1. 과소적합, 과대적합을 구분하는 방법은?
    : f1 score나 정확도 등 모델 평가를 하는데 기준이 되는 값을 그래프로 그려봤을 때, 어떤 때를 기점으로 확 성능이 좋아진다면 과대적합을 의심할 수 있다.
    : RMSE 값 같은 경우는 정확도가 분류기의 성능 측정 지표로 선호되지 않는 것과 유사하게 잘 선호되지 않음.
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