네이버 부스트캠프 AI Tech 4기 선형대수학 스터디 3회차

선형대수학 이상구 저 Chapter4

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4.1 행렬식의 정의와 기본정리

정의 [치환]

• 자연수의 집합 $S = \{1,\ 2,\ \dots,\ n\}$의 치환(permutation, 순열)은 $S$에서 $S$로의 일대일대응함수

• 치환을 간단히, $\sigma = (\sigma{(1)}\ \sigma(2)\ \cdots\ \sigma(n)) = (i_1\ i_2\ \cdots\ i_n)$
• 이는 일대일대응이므로 사실상 $1,\ 2,\ \dots,\ n$을 일렬로 배열하는 것과 같을 것
• 따라서 $S = \{1,\ 2,\ \dots,\ n\}$의 치환은 $n!$가지. $1$부터 $n$을 배열하는 것이니까.
  • $S$의 모든 치환 집합 $n!$개를 $S_n$으로 표시

• 반전(inversion)
  • 치환 $(j_1\ j_2\ \cdots\ j_n)$에서 큰 자연수가 작은 자연수보다 더 왼쪽에 나타나도록 치환된 경우를 의미
• $j_k$에 대한 반전의 개수
  • $k$번째 수인 $j_k$에서 반전이 일어났을 때, $j_k$보다 작으면서 $k + 1$번째 이후로 나타나는 수의 개수를 $j_k$에 대한 반전수라고 함
  • 치환 $(j_1\ j_2\ \cdots\ j_n)$의 반전수란 각각의 $j_k$에 대한 반전수를 모두 더한 것

정의 [짝치환과 홀치환]

• 치환이 가진 반전의 총 개수가 짝수이면 짝치환(even permutation), 홀수이면 홀치환(odd permutation)

정의 [부호화 함수]

• $S_n$의 각 치환을 $+ 1$ 또는 $- 1$이라는 수에 대응시키는 부호화 함수(signature function) $\mathrm{sgn}$ : $S_n \rightarrow \{+1,\ -1\}$

• 예시
  치환하여 $(1\ 4\ 2\ 3)$이면, $4$에서 반전 2개$(2,\ 3)$, 나머지는 크기 순서대로 정렬되었으므로 반전의 총 개수는 2개, 짝치환이고 부호화 함수에 따라 $+$ 부호
• 만약 치환 $\sigma$ 안에서 임의의 두 수 자리를 바꾼 치환을 $\tau$라고 하면 아래 식을 만족
  $\mathrm{sgn}(\tau) = -\mathrm{sgn}(\sigma)$
  • 임의의 두 수 자리를 바꾸면 치환의 개수가 1개 늘거나 줄어서 부호가 바뀜

정의 [행렬식][Leibniz formula]

• 행렬 $A = [a_{ij}]$가 $n$차 정사각행렬일 때, $A$의 행렬식을 $\mathrm{det}(A)$ 또는 $|A|$로 나타냄
  $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{det}(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\ \cdots\ a_{n\sigma{(n)}}$

• 1차 정사각행렬 $A = [a]$라면 행렬식은 $\mathrm{det}(A) = a$
• 2차 정사각행렬 $A$라면, 크기는 $2 \times 2$이고 $S_2 = \{\sigma_1,\ \sigma_2\} = \{(1\ 2),\ (2\ 1)\}$
  • 2차이므로 2가지의 치환집합을 가지는 것 $\{(1\ 2),\ (2\ 1)\}$
  • $\mathrm{sgn}{(\sigma}_1) = 1,\ \mathrm{sgn}{(\sigma}_2) = -1$
  • $\mathrm{det}(A) = \mathrm{sgn}(\sigma_1)a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)} + \mathrm{sgn}(\sigma_2)a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$
• $\mathrm{det}(A)$를 구하는 것은 행렬식을 계산해 $|A|$를 구하라는 것과 같은 의미
• $\mathrm{det}$를 계산하는 이상하게 복잡한 식이 우변처럼 간단해짐(Sarrus 방법)
  • 신발끈 공식과 유사

• 4차 이상의 행렬식에서는 적용할 수 없음
  • 하지만 정의로 이를 구하는 것도 계산량이 어마어마하므로 불가능
  • 행렬식의 성질을 이용하자!

행렬식의 성질

• 정사각행렬 $A$의 행렬식과 $A$의 전치행렬 $A^T$의 행렬식의 값은동일
• 행렬 $B$가 정사각행렬 $A$의 두 행(열)을 서로 바꾸어 얻어진 행렬이라면 $|B| = -|A|$
• 행에 관한 행렬식의 성질이 열에 관해서도 모두 성립
• 정사각행렬 $A$의 두 행(열)이 일치하면 $|A| = 0$
• 정사각행렬 $A$의 한 행(열)의 성분이 모두 0이면 $|A| = 0$
• 정사각행렬 $A$의 한 행을 $k$배하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $|B| = k|A|$
• 정사각행렬 $A$의 두 행이 비례하면 $|A| = 0$
• 정사각행렬 $A$의 한 행의 $k$배를 다른 행에 더해 얻은 행렬을 $B$라 하면 $|B| = |A|$
• $A = [a_{ij}]$가 $n$차의 삼각행렬이면 $A$의 행렬식은 주대각선성분의 곱과 같음
  • $|A| = a_{11}a_{22}\ \cdots\ a_{nn}$
  • 오른쪽 위를 채우는 직각삼각형 모양이라면 빗변의 숫자만 모두 곱한 값이란 뜻
• $E$가 $n$차의 기본행렬(Elementary matrix)이면 $\mathrm{det}(EA) = \mathrm{det}(E)\mathrm{det}(A)$
  • 기본행렬에 관한 행렬식은 아래 참조
    
• $A$가 가역행렬일 필요충분조건은 $\mathrm{det}A \neq 0$
• 두 행렬 $A,\ B$가 $n$차의 정사각행렬이면 $|AB| = |A||B|$ 성립
• 행렬 $A$가 가역이면 $|A| \neq 0$, $|A^{-1}| = {1 \over {|A|}}$ 성립

• 행렬식을 계산하는 방법
  1. 기본행연산을 활용, 행렬식의 한 행(열)에 0이 많이 나타나도록 함
     • RREF 연산을 하라는 뜻
  2. 대각선 성분을 곱함
  • 상수배를 하는 경우와 행을 교환하는 경우에 다시 $1/k$배, $-1$배를 한다는 것 주의

4.4 행렬식의 응용

• 직선, 평면을 행렬 식으로 나타낼 수 있음

• 평행사변형은 두 벡터를 이용해 표현할 수 있고, 이는 넓이 계산 식으로 이어짐

• 평행사변형 넓이$|x_1y_2 - x_2y_1|$는 아래와 같이 해석됨

• 여기서 파생되어 부피 계산으로 이어짐
• 평행 육면체는 세 개의 벡터로 생성, 이들을 열벡터로 가지는 행렬 $A$의 부피도 $\text{det}(A)$의 절댓값
• 넓이를 다르게 표현하면 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$에 대해 $\sqrt{\text{det}A^TA}$
  • 증명은 생략, $\text{det}A^TA = ||u||^2||v||^2\sin^2{\theta}$ 이는 밑변과 높이를 곱한 값의 제곱이므로 루트를 씌워 넓이로 해석
• Vandermonde 행렬은 위와 같은 맥락으로, 어떤 점들을 지나는 그래프의 넓이를 행렬로 구할 수 있게 함

4.5 고유값과 고유벡터

정의 [고유값과 고유벡터]

• $A$는 $n$차의 정사각행렬. $\mathbf{0}$아닌 벡터 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$가 적당한 스칼라 $\lambda$에 대하여 다음을 만족하면 $\lambda$를 $A$의 고유값(eigenvalue)이라 하고, $\mathbf{x}$를 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유벡터(eigenvector)라고 함
  $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$

• 위와 같은 경우, 고유값은 3, 이에 대응하는 고유벡터는 $\mathbf{x}$
• $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$에 대해 $I_n\mathbf{x} = 1\mathbf{x}$이므로 항등행렬 $I_n$의 교유값은 $\lambda = 1$ 하나, $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$는 이 $\lambda$에 대응하는 $I_n$의 고유벡터

• 위 예시처럼 0이 아닌 임의의 스칼라 $k$에 대해 $k\mathbf{x}$도 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유벡터

고유값을 구하는 일반적인 방법

고유값이 뭔지는 알았는데, 어떻게 구할까?

• 여기서 $(\lambda I_n - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 $\mathbf{0}$이 아닌 해를 가져야 함. 그렇다면, 특성방정식(characteristic equation) $|\lambda I_n - A| = 0$가 성립해야 한다는 의미. $f_A(\lambda) = |\lambda I - A|$는 특성다항식(characteristic polynomial)

• 정리해보자면, $A$가 $n \times n$ 행렬, $\lambda$가 스칼라이면 아래 명제는 동치

  • $\lambda$는 $A$의 고유값
  • $\lambda$는 특성방정식 $\text{det}(\lambda I_n - A) = 0$의 해
    • $\text{det}(\lambda I_n - A)$와 $|\lambda I_n - A|$는 동일한 의미라는 것을 배웠음
  • 동차선형연립방정식 $(\lambda I_n - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 자명하지 않은 해도 가짐
    • $\mathbf{x}$가 영벡터 이외의 해를 가진다는 의미

• 예제 3번

• 최종적으로 $\lambda$가 1일 때, 2일 때의 고유벡터 $\mathbf{x}$가 다름
  • $A$는 2차 정사각행렬이므로 2개의 고유값을 가지는 것
  • 이때, $x_1 - 2x_2 = 0$을 풀어야 하는데, 각각 $2t, t$ 실수로 설정

• 대수학의 기본 정리
  실수(혹은 복소수) 계수를 갖는 모든 $n$차 다항식
  $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$
  은 복소평면에서 $p(x) = 0$을 만족하는 $n$개의 근 $x_1, x_2, \dots, x_n$을 가짐
  • 이는 $n$차 정사각실수행렬 $A$의 $n$개 고유값은 복소수 범위에서 항상 존재한다는 뜻
  • 스칼라를 실수로 제한하는 경우에는 없을 수도 있다는 것
  • 실수 범위에서 없다는 의미이지, 복소수(허수) 범위에서는 반드시 존재

• 삼각행렬 $T$의 모든 고유값은 $T$의 주대각선성분인 $t_{11}, t_{22}, \dots, t_{nn}$
  • $n$차 삼각행렬 $T = [t_{ij}]$에 대해 $\lambda I - T$의 주대각선성분은 $\lambda - t_{ii} (i = 1, \dots, n)$
  • 그럼 $T$의 특성다항식 $\text{det}(\lambda I - A) = (\lambda - t_{11})(\lambda - t_{22}) \cdots (\lambda - t_{nn}) = 0$
    • 왜? Sarrus 방법에서 대각선 곱이 아니라면 모두 0이 포함되므로 대각선만 남게 됨

정의 [고유공간(eigenspace)]

• $\lambda$가 $n$차의 정사각행렬 $A$의 고유값일 때, 동차연립방정식 $(\lambda I_n - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해공간을 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유공간(eigenspace)이라 함
• 다시말해 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유공간은 고유벡터 전체와 영벡터로 이루어진 집합

• 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유공간은 다음과 같이 표현 가능
  • 공간의 개념은 $W = <S>$, $S$ 집합의 원소들의 일차결합으로 만든 공간 $W$였음
  • 아래와 같이 고유값에 대응하는 고유벡터로부터 고유공간을 쓸 수 있음