네이버 부스트캠프 AI Tech 4기 선형대수학 스터디 4회차

선형대수학 이상구 저 Chapter6

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지금까지는 행렬을 선형연립방정식과 관련된 계수행렬로 생각했지만 행렬을 함수로 생각해보면 어떨까? 부분공간 사이에서 연산을 보존한다는 의미를 갖는 함수인 선형변환으로 생각해보자! 차원이 다른 두 공간에서 선형변환은 언제나 행렬로 나타내는 것이 가능하다. 그럼 선형변환은 어떤 기하학적 의미를 가지는지 알아보자.

6.1 함수(변환)로서의 행렬

정의 [변환]

• 입력과 출력이 모두 벡터인 함수를 변환(Transformation)이라 함. 그럼 공간 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$에서 $\mathbf{w} = T(\mathbf{x})$를 벡터 $\mathbf{x}$의 $T$에 대한 이미지(image), $\mathbf{x}$를 벡터 $\mathbf{w}$의 원상(pre-image)이라 함.
• 행렬 $A$가 $m \times n$이고, $T_A(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$인 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$를 행렬변환(matrix transformation)이라 함.
  • pre-image $\mathbf{x}$에 변환 $T$를 씌우면 image $\mathbf{w}$
  • 변환을 행렬로 한다면 행렬변환

정의 [선형변환]

• $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 임의의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$와 임의의 스칼라 $k$에 대해 아래 두 조건을 만족하면 $T$를 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 선형변환(linear transformation)이라 함
  (1) $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
  (2) $T(k\mathbf{u}) = kT(\mathbf{u})\ \ \ \ \ (k \in \mathbb{R})$
  • 이는 선형이라는 이름에 맞는 특징. 선형적인 일차함수 위의 두 점에서도 성립하는 성질
• $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^n$ 자신으로 선형변환이라면 $\mathbb{R}^n$ 위의 선형연산자(linear operator)라 함

• 예제 1, 2에서와 같이 $T$가 선형변환임을 증명하고 싶다면 위 두 성질을 검토하면 됨
• $T(x,y,z) = (x,y)$와 같이, 두 성분만으로 이루어진 $\mathbb{R}^2$로 선형변환한다면 이것을 $xy$-평면상으로의 정사영(orthogonal projection)이라 함

• 특수한 선형변환
  

• 만약 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 선형변환이라면 아래를 만족
  (1) $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
  (2) $T(-\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v})$
  (3) $T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v})$
  • 이들의 증명은 선형변환의 특징 2가지를 고루 사용

• $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$로의 모든 선형변환은 행렬변환으로 나타낼 수 있음
  • 증명 과정은 생략, 그냥 그렇다고만 알고 있으면 될 듯

• 행렬 $A = [a_{ij}]_{m \times n}$을 선형변환 $T$의 표준행렬(standard matrix)라 하고, $[T]$라 표시함.
• $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 선형변환이면 $T$의 표준행렬 $A = [T]$와 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$에 대해 아래가 성립
  $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$
  여기서 $A = [T(\mathbf{e}_1) : T(\mathbf{e}_2) : \dots : T(\mathbf{e}_n)]$

• 예제 6. 아래와 같은 선형변환을 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$로 표시하면?
  
• $A$를 빨간 밑줄처럼 놓아야 함
  

결국 요약하면 변환 $T$라는 것은 어떤 한 공간의 벡터를 다른(혹은 같은) 공간의 벡터로 바꿀 수 있는 함수 역할인데, 그 중 선형적인 성질을 가지는 선형변환이 존재하며 모든 선형변환은 행렬로 표현할 수 있다는 것!

6.2 선형변환의 기하학적 의미

• 선형변환이 위와 같이 정의된다면, $\overrightarrow{OP} = (x, y)$는 선형변환 $T$에 의해 $\overrightarrow{OQ} = (ax + by, cx + dy)$로 옮겨짐

• 회전 선형변환
  • $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 안의 벡터를 원점 중심으로 $\theta$만큼 시계 반대방향으로 회전하는 선형변환
  • 옮겨진 점의 좌표를 삼각함수로 나타낸 후 덧셈공식을 사용해 풀면 아래와 같은 $R_\theta$ 도출

• $x$축 상의 정사영(orthogonal projection)
  • $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$인 선형변환

• $x$축에 대한 대칭이동
  • $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$인 선형변환

• (예제 2) $y$축에 대해 대칭으로 옮기는 선형변환의 표준행렬 $A$ 구하기

• (예제 2) $y = x$에 대해 대칭으로 옮기는 선형변환의 표준행렬 $A$ 구하기

변환하여 어느 점에 있을지 기하적으로 생각해보고, 그 점을 표현하기 위한 식을 쓰자

• (예제 3) $x$축과 이루는 각이 $\theta$인 직선에 대칭시키는 경우의 변환행렬 $H_\theta = [T(e_1) : T(e_2)]$는 아래와 같음