네이버 부스트캠프 AI Tech 4기 선형대수학 스터디 5회차

선형대수학 이상구 저 Chapter6

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6.3 핵과 치역

정의

• $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$이 선형변환이면, $T$에 의한 상이 $\mathbf{0}$이 되는 $\mathbb{R}^n$ 안의 벡터 전체의 집합을 $T$의 핵(kernel)이라 하고 $\text{ker}T$로 나타냄. 즉 $\text{ker}T = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\ |\ T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}$
• 다시 말해, $\mathbb{R}^n$ 안의 어떤 벡터 $\mathbf{v}$를 $T$로 선형변환 했을 때 옮겨진$\mathbb{R}^m$ 공간에서 $\mathbf{0}$이 되는 $\mathbf{v}$ 벡터들을 이 변환 $T$의 핵이라고 한다는 것이다.
  • 변형의 결과를 0으로 만드는 조건이 이 변형의 핵이라는 것!

• 이 그림은 $\text{Im}T$을 이야기할 때도 등장한다.

• (예제 1) $T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$인 선형변환 $T(x, y) = (x - y, 0)$에 대해 $\text{ker}T$를 구한다면, $(x - y, 0) = (0, 0)$을 만족해야 하므로 $\text{ker}T = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2\ |\ y=x\}$
• (예제 2) $T:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$인 선형변환 $T(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, x_1, x_2, x_3)$에 대해 $\text{ker}T$를 구한다면, $(0, x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0, 0) = \mathbf{0}$이므로 $x_1, x_2, x_3 = 0$ 따라서 $\text{ker}T = \{(0,0,0,x_4):x_4 \in \mathbb{R}\}$
  • 두 예제에서 $\text{ker}T$를 표현하는 방식도 알아두자

정의

• 변환 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \rightarrow \mathbf{u} = \mathbf{v}$를 만족하면 단사(one-to-one, injective)
  • 어떤 벡터와 선형변환된 상이 일대일대응한다는 뜻
    • 변형된 결과가 같다? 두 벡터는 같은 벡터다!
  • 단사일 필요충분조건은 $\text{ker}T = \{\mathbf{0}\}$
• 변환 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 임의의 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^m$에 대해 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}$인 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$이 존재하면 전사(onto, surjective)
  • 변환된 공간에서의 어떤 벡터에 해당하는 원상이 변환 이전 공간에 존재한다면 전사
• 둘은 양립할 수 있는 개념

• 어떠한 선형변환이 단사임을 확인하려면?
  • $\text{ker}T = \{\mathbf{0}\}$이어야 단사
    • 왜? $T$ 변형이 선형성을 가지는 선형변환이므로... 증명 참조
  • 즉, $\text{ker}T = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\ |\ T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}$에서 선형변환한 상 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$를 만족하는 $\mathbf{v}$가 $\{\mathbf{0}\}$이면 됨
  • (예제 3) $T(x,y) = (y,x)$라면, $T(x,y) = (y,x) = \mathbf{0}$을 만족하는 것은 $y = 0, x = 0$이 유일함. 따라서 $\text{ker}T = \{\mathbf{0}\}$이므로 단사

선형변환 식을 0으로 만드는($T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$) 변수($x_1, x_2 , \dots, x_n \in \mathbf{v}$)들의 값이 모두 0으로 유일하다면 단사!

• $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$에서 $\text{ker}T$는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이므로 $\text{ker}T$를 핵공간(kernel)이라 부름
  • $\mathbb{R}^n$안에서 $T$에 의한 상이 $\mathbf{0}$이 되는 벡터들의 집합이므로 공간도 형성할 수 있는 것
  • 공간은 어떤 집합에 속하는 벡터들의 일차결합으로 형성되는 것을 의미하였음
• (예제 5) 우리는 행렬도 선형변환이라고 배웠다. 그러니까 행렬은 변환의 일종이고, 당연히 $\text{ker}T$도 구할 수 있다! 방법은 위에서 배운 것을 사용하면 되겠지?

• 위의 행렬 $A$는 $2 \times 2$ 행렬이므로 벡터 $\mathbf{v}$를 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 선형변환한다.

• 따라서 $\text{ker}T$를 구하기 위해서는 위와 같이 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ (변형의 결과가 0)이어야 한다.
• 이는 연립방정식 $x_1 + y_1 = 0$과 $x_1 - y_1 = 0$을 푸는 것과 같다. 여기서 $x_1, y_1$은 모두 0으로 유일하므로 해당 행렬은 $\text{ker}T = \{\mathbf{0}\}$이고, 단사라고 할 수 있다.

정의 [동형사상]

• 변환 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$에 대해, 임의의 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$의 상 $T(\mathbf{v})$ 전체의 집합을 $T$의 치역(range)이라 하고 $\text{Im}T$로 나타냄.
  $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Im}T = \{T(\mathbf{v}) \in \mathbb{R}^m\ |\ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \} \subset \mathbb{R}^m$
• 특히 $\text{Im}T = \mathbb{R}^m$이면(공역과 치역이 같다는 의미) $T$는 전사(surjective, onto).
  • $\mathbb{R}^n$으로부터 변환된 상이 $\mathbb{R}^m$ 전체를 커버하기 때문에 $\mathbb{R}^m$ 공간의 모든 벡터의 원상이 $\mathbb{R}^n$에 존재할 수밖에 없음. 이는 앞서 이야기한 전사의 조건에 부합.
• 선형변환 $T$가 단사이고 전사($\rightarrow$ 전단사)이면 $n = m$이 되고, $T$를 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^n$으로의 동형사상(isomorphism)이라고 함.

• (예제 6) $T(x,y) = (x-y,0)$의 치역?
  • $\text{Im}T = \{(x-y,0)\ |\ (x,y) \in \mathbb{R}^2\} = \{(a,0)\ |\ a\in \mathbb{R}\}$
  • $x-y$는 아무런 제약 조건이 없으므로 실수 전체를 치역으로 가짐. 따라서 임의의 실수 $a$로 표현
  • 이는 $\mathbb{R}^2$의 모든 부분을 커버하지 못하므로(공역 $\neq$ 치역) 전사가 아님
  • 따라서 전단사가 아니므로 동형사상이 될 수 없음
• (예제 7) 아래 선형변환에 대해 알아보자.

• $\text{ker}T = \{\mathbf{0}\}$이므로 단사
  • $(0,0,x,y) = \mathbf{0}$이 되는 $x, y$가 모두 0이 유일
• $\text{Im}T = \mathbb{R}^m$이므로 전사
  • 집합 $W_1 = (x_1, x_2, 0, 0) \in \mathbb{R}^2$, $W_2 = (0, 0, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^2$(공역)이고, 변환하여도 $x, y$에 특별한 조건이 없으므로 치역이 $(0,0,a,b)$가 되고 이는 공역인 $\mathbb{R}^2$ 공간을 모두 커버 가능
• 따라서 전단사이고, 동형사상
• $\text{Im}T$는 $\mathbb{R}^m$의 부분공간

다시 정리해보자.

• 단사 조건: $\text{ker}T = \{\mathbf{0}\}$
• 전사 조건: $\text{Im}T = \mathbb{R}^m$ ($\mathbb{R}^m$은 선형변환된 공간)
  • 단사, 전사 모두 만족하면 전단사이고, 이 변환 $T$는 동형사상
• $\text{ker}T$는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간
• $\text{Im}T$는 $\mathbb{R}^m$의 부분공간

• 행렬 $A = [a_{ij}]_{m \times n}$에 대한 선형변환 $T_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$에 대해 아래 두 성질 만족
  • $T_A$가 단사 $\Leftrightarrow$ $A$의 열벡터들이 일차독립
  • $T_A$가 전사 $\Leftrightarrow$ $A$의 행벡터들이 일차독립
  • 이들의 증명 역시 위 단사 및 전사 조건에 입각하여 유도
    

• 행렬 $A = [a_{ij}]_{m \times n}$가 $n$차 정사각행렬, $T_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$가 선형연산자이면, $T_A$가 단사일 필요충분조건은 $T_A$가 전사라는 것
  • 선형연산자가 뭐였지? $\rightarrow$ $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^n$ 자신으로 선형변환 (Chapter6. 선형변환 참고)
    

• 그렇다면, '열벡터가 일차독립', '행벡터가 일차독립' 등은 가역행렬의 동치정리에 속한 조건이므로 단사와 전사도 가역행렬의 동치 정리에 추가할 수 있음
• 가역행렬의 동치정리
  

6.4 선형변환의 합성과 가역성

• 합성변환은 두 개 이상의 선형변환이 연속적으로 수행
• $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$와 $S: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^m$이 모두 선형변환이면 합성함수 $S\ \circ \ T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$도 선형변환

• $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$와 $S: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^m$이 모두 선형변환이면
  • $S\ \circ \ T$가 단사이면, $T$가 단사
  • $S\ \circ \ T$가 전사이면, $S$가 전사
• 이처럼 선형변환이 합성된 경우에 이에 대응하는 표준행렬은 합성된 변환 각각의 표준행렬의 곱으로 표시
  $S\ \circ \ T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [S\ \circ \ T] = [S][T]$
  
• (예제 2) 아래와 같이 원을 변환시키는 행렬변환?
  • $T_1$은 $x$를 3배, $y$를 2배 하는 변환
  • $T_2$는 $45\degree$ 회전하는 변환
  • 합성할 때 나중에 적용하는 것이 감싸는 형태이고, 그에 따라 행렬 연산 순서 정함

• 세 개 이상의 선형변환 합성함수에 대해서도 표준행렬의 연산순서에 따른 곱으로 나타냄
• 함수 $f : X \rightarrow Y$가 가역일 필요충분조건은 $f$가 전사이면서 단사(전단사)
• 선형변환 $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$이 가역이면 $T^{-1} :\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$도 선형변환