[DP] 배낭 문제 (Knapsack Problem)

leeeha·2021년 11월 13일
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알고리즘 이해

배낭 문제는 n개의 물건과 각 물건 i의 무게 wi와 가치 vi가 주어지고, 배낭의 용량이 C일 때, 배낭에 담을 수 있는 물건의 최대 가치를 찾는 문제이다. 단, 배낭에 담은 물건의 무게의 합이 C를 초과하지 말아야 하고, 각 물건은 1개씩만 있다고 가정한다.

가장 기본적으로 모든 경우의 수를 다 따져보면 어떻게 될까? (브루트포스)
n개의 물건 각각에 대해서 배낭에 담거나 담지 않거나 이 두 가지 경우가 있기 때문에 시간복잡도는 O(2^n)이고, 너무 오래 걸린다.

그렇다면 n개의 물건에 대해서 '단위 무게당 가치가 가장 높은 물건부터' 욕심내어 배낭에 담는 것은 어떨까? (그리디)

물건을 부분적으로 담는 것이 허용되는 부분 배낭 문제 (Fractional Knapsack Problem) 에서는 이와 같은 그리디 알고리즘으로 최적해를 구할 수 있다. 예를 들어, 물건이 금, 은, 백금 등과 같은 분말이라고 가정하면, 원하는 무게만큼만 배낭에 담을 수 있다.

하지만, 물건을 통째로 담는 것만 허용되는 0-1 배낭 문제에서는 그리디 알고리즘으로 최적해를 구할 수 없다. (물건을 배낭에 담지 않으면 '0', 담으면 '1'로 본다.)

예를 들어, 배낭의 용량이 30kg이고 각 물건의 무게와 가치가 다음과 같다고 하자.

물건 1: 5kg, $5 → kg당 $1
물건 2: 10kg, $6 → kg당 $0.6
물건 3: 20kg, $14 → kg당 $0.7

단위 무게당 가치가 가장 높은 물건부터 배낭에 담으면 물건 1, 3이 담기기 때문에 배낭에는 5kg의 공간이 남고 얻은 가치는 $19이다. 하지만 실제 최적해는 물건 2, 3을 담은 경우이다. 이때는 배낭에 남은 공간이 없고, 얻은 가치는 $20이다.

부분 배낭 문제에서는 물건 1, 3을 넣고 남은 공간에 물건 2를 5kg만 부분적으로 담을 수 있기 때문에, $(5 + 14 + 5 * 0.6) = $22로 최적해를 구할 수 있다. 하지만 물건을 통째로만 넣을 수 있는 0-1 배낭 문제에서는 이 방법으로 최적해를 구할 수 없다. 이때 사용할 수 있는 방법이 다이나믹 프로그래밍이다.

다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음 조건을 만족시킬 때 사용할 수 있다.

  1. 최적 부분 구조 (Optimal substructure): 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
  2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping subproblem): 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다.

배낭 문제의 부분 문제를 정의하기 위해 물건은 하나씩 차례로 고려하면 되지만, 물건의 무게가 각각 다를 수 있기 때문에 무게에 대해서는 배낭의 용량이 0(kg)부터 1(kg)씩 증가하여 입력으로 주어진 용량인 C(kg)이 될 때까지 변화시켜가면서, 물건을 배낭에 담는 것이 가치가 더 커지는지를 결정해야 한다.
그래서 원래 배낭의 용량은 C(kg)이지만, 배낭 용량이 0(kg)부터 1(kg)씩 증가할 경우의 용량을 '임시' 배낭 용량이라고 부르면, 배낭 문제의 부분 문제를 다음과 같이 정의할 수 있다. 여기서 K는 배낭에 담을 수 있는 물건의 최대 가치를 저장하는 2차원 테이블이다.

K[i, w] = 물건 1~i까지만 고려하고, (임시) 배낭 용량이 w일 때의 최대 가치
(단, i = 1, 2, ..., n, w = 1, 2, ..., C)

그러므로 문제의 최적해는 K[n, C]이다.

의사코드

입력: 배낭의 용량 C, n개의 물건과 각 물건 i의 무게 wi, 가치 vi (단, i = 1, 2, ..., n)
출력: K[n, C]

// 배낭의 용량이 0일 때, 어떤 물건도 담을 수 없으므로 가치 = 0
1. for i = 0 to n K[i, 0] = 0

// 물건이 0이라는 건 어떤 물건도 배낭에 담으려고 고려하지 않았을 때를 의미함.
2. for w = 0 to C K[0, w] = 0 

3. for i = 1 to n { // 물건 1~n
4. 	for w = 1 to C { // 배낭의 임시 용량 1~C
5. 		if(wi > w){ // 물건 i의 무게가 배낭의 임시 용량을 초과하면
6.			K[i, w] = K[i - 1, w] // 물건 i-1 까지만 담는다.
7. 		else // wi <= w
8. 			K[i, w] = max{K[i - 1, w], K[i - 1, w - wi] + vi}
		}
    }
   }
9. return K[n, C] // 최적해 리턴

line7은 현재 고려하는 물건 i의 무게 wi가 현재 배낭의 임시 용량 w 이하여서, 물건 i를 배낭에 담을 수 있다. 그러나, 현재 상태에서 물건 i를 추가로 배낭에 담으면, 배낭의 무게가 (w + wi)로 늘어난다. 따라서, line8에서는 다음 2가지 경우 중에 더 큰 값으로 K[i, w]를 설정해줘야 한다.

1) 물건 i를 배낭에 담지 않는 경우, K[i, w] = K[i - 1, w]
2) 물건 i를 배낭에 담는 경우, 현재 무게인 w에서 물건 i의 무게인 wi를 뺀 상태에서 물건을 (i-1)까지 고려했을 때의 최대 가치인 K[i-1, w-wi]와 물건 i의 가치 vi의 합이 K[i, w]가 된다.

이처럼 배낭 문제는 K라는 2차원 테이블을 채워가면서, 필요한 경우 "앞에서 계산했던 다른 칸의 값을 이용해" 다음 칸의 값을 계산하므로 DP 문제로 볼 수 있다. 여기서 다음과 같은 DP 문제의 조건을 다시 상기시켜보자.

  1. 최적 부분 구조 (Optimal substructure): 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
  2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping subproblem): 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다.

그리고 K[i, w]는 K[i - 1, w - wi]와 K[i - 1, w]가 미리 계산되어 있어야만 구할 수 있으므로 부분문제 사이에 의존적인 관계가 존재한다는 것도 확인할 수 있다.

예제

배낭의 용량 C = 10kg일 때, 배낭에 담을 수 있는 물건의 최대 가치는 얼마인지 구해보자.

부분문제의 정의는 다음과 같다는 걸 기억하자!

K[i, w] = 물건 1~i까지만 고려하고, (임시) 배낭 용량이 w일 때의 최대 가치
(단, i = 1, 2, ..., n, w = 1, 2, ..., C)

먼저, i = 0, w = 0인 경우 테이블의 0번 행과 0번 열의 각 원소를 0으로 초기화 시킨다.

i = 1일 때, 물건 1만 고려한다.

물건 1의 무게가 5kg이기 때문에 w = 1~4일 때는 물건 1을 담을 수 없다. w = 5일 때 비로소 물건 1을 담을 수 있다. 점화식으로 이해하면 다음과 같다.

K[1, 5] = max{K[i - 1, w], K[i - 1, w - wi] + vi}
= max{K[0, 5], K[0, 5-5] + 10}
= max(0, 10) = 10

물건 1만 고려하기 때문에 w = 6~10일 때도 배낭에 담을 수 있는 최대 가치는 10이다.

i = 2일 때는, 앞서 구했던 물건 1에 대한 부분문제들의 해를 이용하여, 물건 2에 대한 부분문제들의 해를 구한다.

물건 2의 무게가 4kg이기 때문에 w = 4부터 물건을 담을 수 있다.

K[2, 4] = max{K[i - 1, w], K[i - 1, w - wi] + vi}
= max{K[1, 4], K[1, 4-4] + 40}
= max(0, 40) = 40

w = 5일 때는 물건 1을 배낭에 담았을 때의 가치와 물건 2를 배낭에 담았을 때의 가치를 비교하여, 더 큰 가치를 얻는 물건을 배낭에 담는다. 이 경우 물건 1을 빼낸 후 물건 2를 담는다.

K[2, 5] = max{K[i - 1, w], K[i - 1, w - wi] + vi}
= max{K[1, 5], K[1, 5-4] + 40}
= max(10, 40) = 40

w = 6~8도 마찬가지로 물건 2를 담는 것이 더 큰 가치를 얻는다.

w = 9일 때는, 물건 1과 2를 모두 담을 수 있다. w = 10일 때도 마찬가지이다.

K[2, 9] = max{K[i - 1, w], K[i - 1, w - wi] + vi}
= max{K[1, 9], K[1, 9-4] + 40}
= max(10, 10 + 40) = 50

물건 3, 4에 대해서도 같은 계산을 반복해주면 결과적으로 다음과 같은 테이블을 얻을 수 있다.

따라서 최적해 K[4, 10]은 물건 2와 4의 가치의 합인 90이다.

시간복잡도 분석

입력: 배낭의 용량 C, n개의 물건과 각 물건 i의 무게 wi, 가치 vi (단, i = 1, 2, ..., n)
출력: K[n, C]

// 배낭의 용량이 0일 때, 어떤 물건도 담을 수 없으므로 가치 = 0
1. for i = 0 to n K[i, 0] = 0

// 물건이 0이라는 건 어떤 물건도 배낭에 담으려고 고려하지 않았을 때를 의미함.
2. for w = 0 to C K[0, w] = 0 

3. for i = 1 to n { // 물건 1~n
4. 	for w = 1 to C { // 배낭의 임시 용량 1~C
5. 		if(wi > w){ // 물건 i의 무게가 배낭의 임시 용량을 초과하면
6.			K[i, w] = K[i - 1, w] // 물건 i-1 까지만 담는다.
7. 		else // wi <= w
8. 			K[i, w] = max{K[i - 1, w], K[i - 1, w - wi] + vi}
		}
    }
   }
9. return K[n, C] // 최적해 리턴

line5에서 무게를 비교한 뒤에, line6에서는 1개의 부분문제의 해를, line8에서는 2개의 부분문제의 해를 참조하여 K[i, w]를 계산하므로, O(1)의 시간이 걸린다. 그런데 부분문제의 개수는 2차원 테이블 K의 크기인 n * C이므로, 배낭 문제의 시간복잡도는 O(nC) 이다.

여기서 배낭의 용량 C가 물건의 개수 n에 비해 너무 커지면, 알고리즘의 수행 시간이 너무 길어져 현실적으로 해를 찾을 수 없다. 따라서 배낭 문제는 제한적인 입력 크기에 대해서만 효용성을 갖는다.

백준 12865번. 평범한 배낭

문제

https://www.acmicpc.net/problem/12865

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다.

준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 10만)가 주어진다.

두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 10만)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

예제

풀이

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N_MAX = 101; 
const int K_MAX = 100001; 
int dp[N_MAX][K_MAX];
int weight[N_MAX];
int value[N_MAX];

int main() {
  	ios::sync_with_stdio(0);
  	cin.tie(0);

	// 물건의 개수, 배낭의 용량
	int N, K; 
	cin >> N >> K;

	// 물건 N개의 무게와 가치 (인덱스 주의)
	for(int i = 1; i <= N; i++){ 
		cin >> weight[i] >> value[i]; 
	}

	// 어떤 물건도 담지 않는 경우
	for(int i = 0; i <= K; i++){
		dp[0][i] = 0;
	}
	
	// 배낭 용량이 0인 경우
	for(int i = 0; i <= N; i++){
		dp[i][0] = 0; 
	}

	for(int i = 1; i <= N; i++){ // 물건 1~i까지 고려 
		for(int w = 1; w <= K; w++){ // 배낭의 용량 1~K 
			int wi = weight[i]; 
			int vi = value[i]; 

			// i번째 물건의 무게가 현재 배낭 용량보다 큰 경우 
			if(wi > w) {
				// (i-1)번째 물건까지만 담는다. 
				dp[i][w] = dp[i - 1][w];
			}else{
				// i번째 물건을 담을지 말지 결정한다. 
				dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - wi] + vi); 
			}
		}
	}

	// 배낭에 넣을 수 있는 물건 가치의 최댓값 
	cout << dp[N][K]; 
	
  	return 0;
}

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